[论文解读] Towards efficient algorithm deciding separability of distributed quantum states

Piotr Badziąg, Paweł Horodecki+1 more|ArXiv.org|Apr 6, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种有限的、初等的递归算法，通过将问题约化为由协变矩阵导出的线性方程组来判断任意多体量子态的可分性。对于 $m\times n$ 维空间中的通用态，该方法将复杂度降低至约 $\binom{mn+D-1}{D}$ 个变量，其中当 $mn$ 较大时 $D \leq 4$，从而可通过线性代数方法而非暴力的量化消除法实现高效的可分性检测。

ABSTRACT

It is pointed out that separability problem for arbitrary multi-partite states can be fully solved by a finite size, elementary recursive algorithm. In the worse case scenario, the underlying numerical procedure, may grow doubly exponentially with the state's rank. Nevertheless, we argue that for generic states, analysis of concurrence matrices essentially reduces the task of solving separability problem in $m imes n$ dimensions to solving a set of linear equations in about $\binom{mn+D-1}{D}$ variables, where $D$ decreases with $mn$ and for large $mn$ it should not exceed 4. Moreover, the same method is also applicable to multipartite states where it is at least equally efficient.

研究动机与目标

• 开发一种用于判断任意多体量子态可分性的有限、可操作的算法。
• 克服现有量化消除方法的高昂复杂度，这些方法的复杂度随态的秩呈双指数增长。
• 通过分析协变矩阵，将可分性问题约化为求解线性方程组。
• 将该方法推广至多体态，使其效率与双体情形相当。
• 通过聚焦于 $D$ 值可控的通用态，为 NP-难的弱成员问题提供一种实用的替代方案。

提出的方法

• 该方法利用从态的密度矩阵导出的协变矩阵来编码纠缠结构。
• 它将可分性问题约化为求解变量 $u_{ki}$ 的线性方程组（14），该组变量用于参数化潜在的可分态分解。
• 这些方程的解空间决定了是否存在有效的等距变换，通过归一化因子 $\lambda_k$ 上的线性约束（15）进行检验。
• 对于通用态，独立变量的数量减少至 $\binom{mn+D-1}{D}$，其中当 $mn$ 较大时 $D$ 受限于 4。
• 该方法通过分析多个正定矩阵 $\hat{\mathcal{A}}_{jk}^{lm}$ 的特征向量而非单个双协变矩阵，推广至多体态。
• 该算法通过聚焦于有理坐标态和有限维解簇，避免了对不可数集合的穷举搜索。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意多体量子态的可分性问题能否通过一种有限的、初等的递归算法解决？
• RQ2 与直接的量化消除相比，通过分析协变矩阵能否显著降低可分性检测的复杂度？
• RQ3 在通用的 $m\times n$ 态中，参数化可分分解所需的变量数 $D$ 的有效数量是多少？
• RQ4 该方法在多体态中的扩展性如何？能否保持与双体情形相当的效率？
• RQ5 协变矩阵方程的解空间能否用于构造类似 Lewenstein-Sanpera 的分解，将态划分为可分部分与纠缠部分？

主要发现

• 任意多体态的可分性问题可通过有限的、初等的递归算法判定。
• 对于通用的 $m\times n$ 态，该问题约化为求解 $\binom{mn+D-1}{D}$ 个变量的线性方程组，且当 $mn$ 较大时 $D \leq 4$。
• 在 $3\times 3$ 维空间中，$D=1$ 对于通用态已足够，数值证据表明当 $\Delta=2$ 时 $D \approx \sqrt{r}$，表明复杂度可控。
• 该方法可推广至多体态，对于通用的三 qubit 态，$D=5$ 已足够，将变量数减少至 792，方程数减少至 1080。
• 等距条件（15）是关于 $|\lambda_k|^2$ 的线性系统，无需指数级搜索即可求解，从而可高效判断可分性。
• 通过聚焦于解簇低维的通用态，该方法避免了弱成员问题的 NP-难性。