[论文解读] Towards Finding the Critical Value for Kalman Filtering with Intermittent Observations

Yilin Mo, Bruno Sinopoli|arXiv (Cornell University)|May 14, 2010

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 14被引用 31

一句话总结

本文在离散时间线性高斯系统中，针对间歇性观测的卡尔曼滤波，精确计算了临界到达概率 $p_c$，在系统矩阵 $A$ 和 $C$ 的最小条件下证明了 $p_c = 1 - \lambda^{-2q/(q-1)}$。结果表明，Sinopoli 等人 [1] 所推导的下界对一大类系统是紧致的，从而解决了网络化控制系统领域长期存在的开放问题。

ABSTRACT

In [1], Sinopoli et al. analyze the problem of optimal estimation for linear Gaussian systems where packets containing observations are dropped according to an i.i.d. Bernoulli process, modeling a memoryless erasure channel. In this case the authors show that the Kalman Filter is still the optimal estimator, although boundedness of the error depends directly upon the channel arrival probability, p. In particular they also prove the existence of a critical value, pc, for such probability, below which the Kalman filter will diverge. The authors are not able to compute the actual value of this critical probability for general linear systems, but provide upper and lower bounds. They are able to show that for special cases, i.e. C invertible, such critical value coincides with the lower bound. This paper computes the value of the critical arrival probability, under minimally restrictive conditions on the matrices A and C.

研究动机与目标

• 解决在间歇性观测下精确计算卡尔曼滤波临界到达概率 $p_c$ 的开放问题。
• 扩展先前仅提供 $p_c$ 上下界结果的研究，特别是在 $C$ 不可逆的情况下。
• 在对系统矩阵 $A$ 和 $C$ 的限制条件最小化的情况下刻画 $p_c$，超越如 $C$ 可逆等特殊情况。
• 分析伯努利丢包下卡尔曼滤波误差协方差的稳定性，确定其有界性的阈值。
• 提供一个适用于马尔可夫模型和更高阶矩有界性的通用框架，对网络控制协议设计具有启示意义。

提出的方法

• 通过系统状态转移矩阵的谱分析以及 $A$ 的特征值，推导临界概率 $p_c$。
• 引入集合 $\mathbb{T}_{\varepsilon,\infty} = \{ l \in \mathbb{N} \mid 2 - z^l - z^{-l} > \varepsilon \}$，以分析余弦项远离零的索引密度。
• 对比率 $i / |\mathbb{T}_{\varepsilon,i}|$ 进行渐近分析，以估计有效时间索引的增长率，从而得出 $\limsup_{|\mathbb{T}_{\varepsilon,i}| \to \infty} i / |\mathbb{T}_{\varepsilon,i}| = 1$。
• 利用条件 $\limsup_{|\mathbb{T}_{\varepsilon,i}| \to \infty} \lambda^{-2i / |\mathbb{T}_{\varepsilon,i}|} \to \lambda^{-2}$ 当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，推导出临界值。
• 证明在一般条件下，临界概率 $p_c = 1 - \lambda^{-2q/(q-1)}$ 与 Sinopoli 等人 [1] 的下界一致。
• 通过一系列定理与引理验证结果，包括谱半径的使用以及单位圆上无理旋转的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般线性系统中，卡尔曼滤波在间歇性观测下的临界到达概率 $p_c$ 的精确值是什么？
• RQ2 Sinopoli 等人 [1] 推导的 $p_c$ 下界是否在 $C$ 不可逆的系统中仍为精确值？
• RQ3 在何种条件下 $p_c$ 的下界是紧致的，又在何种条件下会失效？
• RQ4 系统矩阵 $A$ 和观测矩阵 $C$ 的结构如何影响临界概率？
• RQ5 能否利用系统的谱性质与遍历性质来刻画卡尔曼滤波误差协方差的有界性？

主要发现

• 临界到达概率精确为 $p_c = 1 - \lambda^{-2q/(q-1)}$，其中 $\lambda$ 是系统矩阵 $A$ 的谱半径。
• Sinopoli 等人 [1] 推导的 $p_c$ 下界对一大类系统是紧致的，即使在 $C$ 不可逆时也成立。
• 对于 $A$ 的特征值具有不同模长的系统，临界概率与下界一致。
• 证明表明 $\limsup_{|\mathbb{T}_{\varepsilon,i}| \to \infty} i / |\mathbb{T}_{\varepsilon,i}| = 1$，从而得出 $p_c \leq 1 - \lambda^{-2}$，与下界匹配。
• 该结果适用于临界稳定退化系统，通过直接应用定理 8 处理。
• 分析可推广至马尔可夫包丢失模型及误差协方差矩阵的更高阶矩。