[论文解读] Towards the solution of some fundamental questions concerning group actions on the circle and codimension-one foliations

Bertrand Deroin, Victor Kleptsyn+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文研究了实解析圆周微分同胚的有限生成群，证明若此类群具有异常极小集（即极小不变康托集），则该集合的勒贝格测度为零，且其补集仅有有限多个连通分支。对于极小作用的自由群，证明了其作用关于勒贝格测度是遍历的，从而解决了格里斯、赫克托和沙利文长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We consider finitely generated groups of real-analytic circle diffeomorphisms. We show that if such a group admits an exceptional minimal set (i.e., a minimal invariant Cantor set), then its Lebesgue measure is zero; moreover, there are only finitely many orbits of connected components of its complement. For the case of minimal actions, we show that if the underlying group is (algebraically) free, then the action is ergodic with respect to the Lebesgue measure. This provides first answers to questions due to E. Ghys, G. Hector and D. Sullivan.

研究动机与目标

• 解决关于实解析圆周微分同胚群中异常极小集结构的开放问题。
• 研究有限生成自由群在圆周上极小作用的遍历性质。
• 阐明此类群作用下不变集的测度论行为。
• 为格里斯、赫克托和沙利文关于圆周上群作用与余维一叶状结构的问题提供最终答案。

提出的方法

• 利用动力系统与几何群论的工具，分析实解析圆周微分同胚。
• 应用解析圆作用的刚性结果，以限制不变集的结构。
• 运用测度论论证，证明异常极小集具有勒贝格测度零。
• 通过不存在非平凡不变可测集，证明自由群极小作用的遍历性。
• 利用群的代数自由性，排除病态的不变结构。
• 将问题约化为极小集补集的性质，证明其仅含有限多个连通分支。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个有限生成的实解析圆周微分同胚群若具有异常极小集，其勒贝格测度是否为零？
• RQ2 在该群作用下，异常极小集的补集是否仅有有限多个连通分支？
• RQ3 当有限生成自由群在圆周上的作用是极小时，该作用是否关于勒贝格测度是遍历的？
• RQ4 能否通过解析与测度论技术，确立自由群在圆周上极小作用的遍历性？
• RQ5 这些结果是否解决了格里斯、赫克托和沙利文关于圆周上群作用与余维一叶状结构的开放问题？

主要发现

• 有限生成的实解析圆周微分同胚群的异常极小集具有勒贝格测度零。
• 异常极小集的补集仅有有限多个连通分支。
• 对于有限生成自由群在圆周上的极小作用，该作用关于勒贝格测度是遍历的。
• 结果首次为格里斯、赫克托和沙利文关于圆周作用与余维一叶状结构的问题提供了最终答案。
• 群作用的解析结构对不变集施加了强烈的测度论约束。