[论文解读] Traces of intertwiners for quantum groups and difference equations, II

Pavel Etingof, Olivier Schiffmann+1 more|ArXiv.org|Jul 18, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 5

一句话总结

该论文证明了量子仿射代数的交织算子的扭曲迹在适当的正规化下满足四套差分方程——Macdonald-Ruijsenaars、对偶Macdonald-Ruijsenaars、量子Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard（qKZB）以及对偶qKZB方程。其主要贡献在于通过表示论推导出这些方程，将早期关于有限维量子群的结果推广至带有图自同构扭变的仿射情形，同时在扭变平凡时证明了权重交换下的对称性。

ABSTRACT

In this paper we study twisted traces of products of intertwining operators for quantum affine algebras. They are interesting special functions, depending on two weights lambda, mu, three scalar parameters q, omega, k, and spectral parameters z_1,...,z_N, which may be regarded as q-analogs of conformal blocks of the Wess-Zumino-Witten model on an elliptic curve. It is expected that in the rank 1 case they essentially coincide with the elliptic hypergeometric functions defined in math.QA/0110081. Our main result is that after a suitable renormalization the traces satisfy four systems of difference equations -- the Macdonald-Ruijsenaars equation, the q-Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equation, and their dual versions. We also show that in the case when the twisting automorphism is trivial, the trace functions are symmetric under the permutation lambda mu, k omega. Thus, our results here generalize our previous results, dealing with the case q = 1 and the finite dimensional case.

研究动机与目标

• 将交织算子迹的理论从有限维量子群扩展到带有图自同构扭变的量子仿射代数。
• 在仿射设定下推导这些迹函数的Macdonald-Ruijsenaars和qKZB差分方程。
• 在扭变自同构平凡时，建立迹函数在权重与参数交换下的对称性。
• 为仿射量子群设定下qKZB方程与其对偶之间的对偶性提供表示论证明。
• 在秩-1情形下将迹函数与椭圆超几何函数联系起来，并与已知方程如椭圆qKZ方程建立关联。

提出的方法

• 作者将扭曲迹函数定义为量子仿射代数上有限维模的张量积之间交织算子的矩阵元。
• 他们利用动力R-矩阵和与图自同构相关的扭曲R-矩阵来构造迹函数及其变换性质。
• 差分方程的推导依赖于R-矩阵的融合恒等式以及在谱参数和动力参数上的移位算子作用。
• 通过在动力参数λ和μ上作用移位算子，结合二次Casimir元和R-矩阵恒等式，推导出Macdonald-Ruijsenaars方程。
• 通过分析迹函数在谱参数移位下的单值性性质，并利用R-矩阵辫子关系，得到qKZB和对偶qKZB方程。
• 通过对R-矩阵的自对偶性以及在模对偶和自同构作用下交织算子结构的利用，证明了对称性恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当的正规化下，量子仿射代数的交织算子迹是否满足Macdonald-Ruijsenaars和qKZB差分方程？
• RQ2 图自同构扭变的存在如何影响迹函数的对称性？
• RQ3 在仿射量子群设定下，qKZB与其对偶方程之间的对偶性能否从表示论中推导得出？
• RQ4 在sl(2)情形下，迹函数与椭圆超几何函数之间存在何种关系？
• RQ5 在sl(n)情形下，当具有循环图自同构时，迹函数的行为如何？它们满足哪些方程？

主要发现

• 通过移位算子作用和R-矩阵恒等式，迹函数在适当正规化后满足Macdonald-Ruijsenaars和对偶Macdonald-Ruijsenaars方程。
• 迹函数满足量子Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard（qKZB）和对偶qKZB方程，其中谱参数移位由算子D^T_j和K^T_j控制。
• 当扭变自同构T平凡时，迹函数在同时交换λ ↔ μ和k ↔ ω下具有对称性，推广了有限维情形的结果。
• 在sl(2)情形下，迹函数被猜想为椭圆曲线上共形块的q-类比，且在正规化后应与椭圆超几何函数一致。
• 对于具有循环图自同构的sl(n)，迹函数变为动力参数λ和μ的独立函数，并退化为具有Belavin R-矩阵的椭圆qKZ方程，其对偶方程被证明由Felder在有限点处的R-矩阵所控制。