[论文解读] Tractable Answer-Set Programming with Weight Constraints: Bounded Treewidth is not Enough

Reinhard Pichler, Stefan Rümmele+2 more|Apr 13, 2012

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文研究了在有界树宽下带权约束的答案集编程的可解性，表明仅靠标准树宽不足以实现可解性。本文引入了约束宽度作为额外参数，并提出一种用于PCCs（基数约束）的动态规划算法，实现了非均匀多项式时间复杂度；同时证明，在标准假设下，固定参数可解性不太可能成立，因为该问题在树宽参数化下为W[1]-难问题。

ABSTRACT

Cardinality constraints or, more generally, weight constraints are well recognized as an important extension of answer-set programming. Clearly, all common algorithmic tasks related to programs with cardinality or weight constraints - like checking the consistency of a program - are intractable. Many intractable problems in the area of knowledge representation and reasoning have been shown to become linear time tractable if the treewidth of the programs or formulas under consideration is bounded by some constant. The goal of this paper is to apply the notion of treewidth to programs with cardinality or weight constraints and to identify tractable fragments. It will turn out that the straightforward application of treewidth to such class of programs does not suffice to obtain tractability. However, by imposing further restrictions, tractability can be achieved.

研究动机与目标

• 确定有界树宽是否足以确保带权约束的答案集编程的一致性问题的可解性。
• 识别出树宽之外的额外结构参数，以实现PWCs和PCCs的可解解法。
• 设计一种用于PCCs的动态规划算法，实现非均匀多项式时间复杂度。
• 分析在不同参数化方式下，PCCs和PWCs的一致性问题的参数化复杂度。
• 建立所提算法时间复杂度可进一步优化的理论极限。

提出的方法

• 使用其关联图定义PWC或PCC的树宽。
• 引入约束宽度，即任一权重重约束中下界或上界出现的最大整数。
• 设计一种在树分解上运行的PCCs动态规划算法，追踪每个节点袋中原子的排列顺序。
• 使用一种数据结构，通过树模型及其伴随的模型集合，维护潜在模型及其极小性条件。
• 通过证明当以树宽为参数时，PCCs的一致性问题为W[1]-难，从而证明固定参数可解性不太可能成立。
• 利用SHARP框架和htdecomp库，高效实现树分解与算法组件。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界树宽是否足以确保带权约束的答案集编程中一致性问题的可解性？
• RQ2 除了树宽之外，是否可引入其他结构参数，以实现PWCs和PCCs的可解解法？
• RQ3 在有界树宽下，PCCs一致性问题的最优时间复杂度是多少？
• RQ4 所提出的动态规划算法能否扩展以处理以一进制表示权重的PWCs？
• RQ5 当以树宽为参数时，PCCs一致性问题是否可能实现固定参数可解性（FPT）？

主要发现

• 即使树宽被限制为1，PWCs的一致性问题仍为NP完全，表明仅靠树宽不足以实现可解性。
• 当树宽与约束宽度均被常数有界时，PWCs的一致性问题变为线性时间可解。
• 对于PCCs，所提动态规划算法实现了非均匀多项式时间复杂度，时间复杂度为O(f(w) · n^{2w})，其中w为树宽，n为程序规模。
• 在标准复杂度假设下，该算法的时间复杂度为最优，因为该问题在以树宽为参数时被证明为W[1]-难。
• 将该算法扩展至以一进制表示权重的PWCs，可实现非均匀多项式时间可解。
• 固定参数可解性（FPT）不太可能实现，因为该问题在以树宽为参数时为W[1]-难，表明在常见假设下当前界已是最佳可能。