[论文解读] Transcendence of some Hilbert-Kunz multiplicities (modulo a conjecture)

Paul Monsky|ArXiv.org|Aug 7, 2009

Meromorphic and Entire Functions参考文献 3被引用 8

一句话总结

在假设特征 2 代数曲面的 Hilbert-Kunz 函数的一个猜想的前提下，本文证明了某些 Hilbert-Kunz 重数为超越数，方法是将其表示为由超几何级数导出的生成函数的有理线性组合。关键结果通过生成函数的 Hadamard 积结构以及 Schneider 对椭圆积分的超越性结果，建立了正特征下超越 Hilbert-Kunz 重数的存在性。

ABSTRACT

Suppose that h in F[x,y,z], char F=2, defines a nodal cubic. In earlier papers we made a precise conjecture as to the Hilbert-Kunz functions attached to the powers of h. Assuming this conjecture we showed that a class of characteristic 2 hypersurfaces has algebraic but not necessarily rational Hilbert-Kunz multiplicities. We now show that if the conjecture holds, then transcendental multiplicities exist, and in particular that the number \sum\binom{2n}{n}^{2}/(65,536)^{n}, proved transcendental by Schneider, is a Q-linear combination of Hilbert-Kunz multiplicities of characteristic 2 hypersurfaces.

研究动机与目标

• 在正特征下，特别是特征 2 下，建立超越 Hilbert-Kunz 重数的存在性。
• 在 Hilbert-Kunz 函数的猜想下，研究某些代数 Hilbert-Kunz 重数是否实际上为超越数。
• 将一类代数曲面的 Hilbert-Kunz 重数与超几何级数的特殊值联系起来。
• 证明一个已知的超越数 ∑(2n choose n)² / 65536ⁿ 可表示为特征 2 代数曲面 Hilbert-Kunz 重数的有理线性组合。

提出的方法

• 本文利用特征 2 中幂级数 g 的生成函数 θ_g 的 Hadamard 积结构。
• 应用关于节点型三次代数曲面 Hilbert-Kunz 函数的猜想公式，推导出生成函数 θ_g。
• 利用 Grothendieck 群上的映射 η: Γ_Q → Q 的乘法性质，将 Hilbert-Kunz 函数与 θ_g 的系数联系起来。
• 利用恒等式 θ_g² = 1 + 2^r w · θ_g（对应 g²）建立 g 的幂的生成函数之间的关系。
• 通过一个猜想的函数方程，将 f = x³ + y³ + xyz 的生成函数 θ_f 与超几何级数联系起来。
• 应用 Schneider 对椭圆曲线上有理 1-形式积分的超越性定理，证明 ∑A_n² / 2^{16n} 为超越数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 F 满足 char F = 2 且 h 为节点型三次多项式时，由 h ∈ F[x,y,z] 定义的特征 2 代数曲面的 Hilbert-Kunz 重数是否保持代数性，还是可能为超越数？
• RQ2 一个已知的超越数（如 ∑(2n choose n)² / 65536ⁿ）能否表示为特征 2 代数曲面 Hilbert-Kunz 重数的有理线性组合？
• RQ3 在 Hilbert-Kunz 函数的猜想下，f = x³ + y³ + xyz 的生成函数 θ_f 是否在 Q(w) 上代数？
• RQ4 θ_g 的 Hadamard 积结构是否允许从代数 Hilbert-Kunz 重数构造出超越重数？
• RQ5 ∑A_n² / 2^{16n} 的值是否为超越数？若是，能否将其与 Hilbert-Kunz 重数联系起来？

主要发现

• 在假设 Hilbert-Kunz 函数猜想的前提下，∑A_n² / 2^{16n} 是特征 2 代数曲面 Hilbert-Kunz 重数的有理线性组合。
• 利用 Schneider 定理对椭圆曲线上有理 1-形式积分的超越性，证明了 ∑(2n choose n)² / 65536ⁿ 为超越数。
• f = x³ + y³ + xyz 的生成函数 θ_f 满足一个函数方程，使得可构造出超几何级数的表示形式。
• uv + ∑g_i 的 Hilbert-Kunz 重数由 θ_g_i 的 Hadamard 积给出，从而可将代数性质传递至超越结果。
• 本文在假设猜想的前提下，建立了特征 2 下超越 Hilbert-Kunz 重数的存在性。
• 积分 ∫_{-1}^1 dx / √((1 - 16λ²x²)(1 - x²)) 等于 π∑A_n²λ^{2n}，该结果被用于将该级数与椭圆曲线的周期联系起来。