[论文解读] Transfer operators for $Γ_0(n)$ and the Hecke operators for the period functions for $PSL(2,Z)$

Joachim Hilgert, Dieter Mayer+1 more|ArXiv.org|Mar 20, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用 27

一句话总结

本文建立了模群 $\Gamma = \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的周期函数上的 Hecke 算子与同余子群 $\Gamma_0(n)$ 的转移算子之间的直接联系。通过构造 $\Gamma_0(n)$ 的转移算子的特殊特征函数，其特征值为 $\mp 1$，作者证明这些解在 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的周期函数空间上诱导出线性算子，恰好对应于通过 Eichler–Manin–Shimura 对应关系导出的 Hecke 算子。关键结果是，这些 Hecke 算子可被实现为 $S_n$ 中矩阵的加权和，与 M"uhlenbruch 和 Zagier 的已知构造一致。

ABSTRACT

In this article we report on a surprising relation between the transfer operators for the congruence subgroups $Γ_{0}(n)$ and the Hecke operators on the space of period functions for the modular group $\PSL (2,\mathbb{Z})$. For this we study special eigenfunctions of the transfer operators with eigenvalues $\mp 1$, which are also solutions of the Lewis equations for the groups $Γ_{0}(n)$ and which are determined by eigenfunctions of the transfer operator for the modular group $\PSL (2,\mathbb{Z})$. In the language of the Atkin-Lehner theory of old and new forms one should hence call them old eigenfunctions or old solutions of Lewis equation. It turns out that the sum of the components of these old solutions for the group $Γ_{0}(n)$ determine for any $n$ a solution of the Lewis equation for the modular group and hence also an eigenfunction of the transfer operator for this group.

研究动机与目标

• 探索同余子群 $\Gamma_0(n)$ 的转移算子与模群 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的周期函数上的 Hecke 算子之间的联系。
• 理解 $\Gamma_0(n)$ 的 Lewis 方程的解如何与 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的转移算子的特征函数相关联。
• 通过 $\Gamma_0(n)$ 的 Lewis 方程的特殊解，基于新构造实现周期函数上的 Hecke 算子。

提出的方法

• 构造 $\Gamma_0(n)$ 的转移算子的特征函数，其特征值为 $\mp 1$，且这些函数是 $\Gamma_0(n)$ 的向量值 Lewis 方程的解。
• 利用 Atkin–Lehner 理论对旧形式与新形式的解释，将这些解理解为由 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的周期函数导出的“旧”解。
• 通过作用 $\phi \mapsto \phi \mid_s \tilde{T}_n$ 定义周期函数上的线性算子 $\tilde{H}_n$，其中 $\tilde{T}_n = \sum_{A \in S_n, \gcd(a,b,c,d)=1} A$。
• 在满足 $n_2 \mid n_1$ 的索引集 $I_{n_1}$ 与 $I_{n_2}$ 之间建立一个与 $\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})$-作用相容的典范满射映射 $\sigma_{n_1,n_2}$。
• 证明 $\Gamma_0(n_1)$ 的 Lewis 方程的解可通过 $\sigma_{n_1,n_2}$ 的纤维求和，诱导出 $\Gamma_0(n_2)$ 的解，且保持方程的结构。
• 通过 $\tilde{T}_{n/d^2}$ 的缩放版本求和，推导出 Hecke 算子 $T_n$，并证明 $T_n = \sum_{d^2 \mid n} \begin{pmatrix} d & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} \tilde{T}_{n/d^2}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 同余子群 $\Gamma_0(n)$ 的转移算子与模群 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的周期函数上的 Hecke 算子之间有何关系？
• RQ2 $\Gamma_0(n)$ 的 Lewis 方程的解能否用于构造 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的周期函数空间上的 Hecke 算子？
• RQ3 将 $\tilde{T}_n$ 定义为 $S_n$ 中本原矩阵之和时，其与标准 Hecke 算子 $T_n$ 之间的精确关系是什么？
• RQ4 $\tilde{T}_n$ 与 $T_n$ 在何种条件下重合？这与 $n$ 的算术性质有何关联？
• RQ5 索引集 $I_{n_1}$ 与 $I_{n_2}$ 之间的典范映射 $\sigma_{n_1,n_2}$ 如何保持 Lewis 方程解的结构？

主要发现

• 由 $\tilde{H}_n\phi = \phi \mid_s \tilde{T}_n$ 定义的线性算子 $\tilde{H}_n$ 将 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的 Lewis 方程的任意解 $\phi$ 映射为同一方程的另一解，且权重 $s$ 不变，从而确立 $\tilde{H}_n$ 为周期函数空间上的 Hecke 算子。
• 矩阵 $\tilde{T}_n = \sum_{A \in S_n, \gcd(a,b,c,d)=1} A$ 生成的算子在 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的周期函数上作用，通过标准的 $\mid_s$ 作用，其作用保持 Lewis 方程的解空间。
• M"uhlenbruch 和 Zagier 定义的 Hecke 算子 $T_n$ 满足关系式 $T_n = \sum_{d^2 \mid n} \begin{pmatrix} d & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} \tilde{T}_{n/d^2}$，表明 $\tilde{T}_n$ 是 $T_n$ 的基本构建块。
• $\tilde{T}_n$ 与 $T_n$ 重合当且仅当 $n$ 是无平方因子数，即不同素数的乘积。
• 通过映射 $\sigma_{n_1,n_2}$ 从 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的周期函数构造的 $\Gamma_0(n)$ 的 Lewis 方程的解，可诱导出更小水平的相容解，展示了跨水平的一致提升机制。
• 该构造表明，$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ 的周期函数上的 Hecke 算子 $T_n$ 可由 $\Gamma_0(n)$ 的 Lewis 方程的特殊解导出，从而为 Hecke 作用提供了动力系统实现。