[论文解读] Transformation theory and Christoffel formulas for matrix biorthogonal polynomials on the real line

Carlos Álvarez-Fernández, Gerardo Ariznabarreta+3 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 57被引用 10

一句话总结

本文基于高斯-博雷尔分解与谱/非谱技术，为实轴上的矩阵双正交多项式建立了变换理论及Christoffel型公式。推导了Geronimus、Geronimus–Uvarov与Uvarov变换的显式公式，实现了对扰动多项式及其范数的计算，并将其应用于非交换2D Toda与非交换KP层级。

ABSTRACT

In this paper transformations for matrix orthogonal polynomials in the real line are studied. The orthogonality is understood in a broad sense, and is given in terms of a nondegenerate continuous sesquilinear form, which in turn is determined by a quasidefinite matrix of bivariate generalized functions with a well defined support. The discussion of the orthogonality for such a sesquilinear form includes, among others, matrix Hankel cases with linear functionals, general matrix Sobolev orthogonality and discrete orthogonal polynomials with an infinite support. The first transformation considered is that of Geronimus type, two different methods are developed. A spectral one, based on the spectral properties of the perturbing polynomial, and constructed in terms of the second kind functions. Then, using spectral techniques and spectral jets, Christoffel-Geronimus formulas for the transformed polynomials and norms are presented. For this type of transformations, the paper also proposes an alternative method, which does not require of spectral techniques. A discussion on matrix spectral linear transformations is presented, as well. These transformations can be understood as rational perturbations of the matrix of bivariate generalized functions together with an addition of appropriate masses, determined these last ones by the spectral properties of the polynomial denominator. As for the Geronimus case, two techniques are applied, spectral and mixed spectral/nonspectral. Christoffel--Geronimus--Uvarov formulas are found with both approaches and some applications are given. The transformation theory is finally discussed in the context of the 2D non-Abelian Toda lattice and noncommutative KP hierarchies, understood as the theory of continuous transformations of quasidefinite sesquilinear forms. This approach allows for the finding of perturbed quasitau and Baker matrices.

研究动机与目标

• 为实轴上在一般拟正定厄米形式下的矩阵双正交多项式建立全面的变换理论。
• 推导出表达扰动矩阵双正交多项式及其范数与原始多项式关系的Christoffel型公式。
• 建立矩阵正交多项式变换与可积层级之间的联系，特别是非阿贝尔2D Toda与非交换KP层级。
• 提供处理矩阵多项式扰动的谱与非谱方法，包括首项系数奇异的情形。
• 统一并拓展现有矩阵情形下的线性谱变换结果，包括Christoffel、Geronimus与Uvarov型。

提出的方法

• 以Gram矩阵的高斯-博雷尔分解作为核心代数工具，推导变换公式。
• 基于矩阵多项式的谱性质应用谱技术，尤其在首项系数非奇异时。
• 提出一种非谱方法，即使在首项系数奇异时也适用，从而处理单模与一般矩阵多项式扰动。
• 利用谱射流与Christoffel–Darboux核表达变换后的多项式与第二类函数。
• 通过围道积分与Cauchy型公式，推导涉及Baker函数、双正交多项式与τ-比矩阵函数的双线性恒等式。
• 将理论应用于具体情形，如离散Sobolev矩阵正交多项式与一次多项式矩阵hodographic扰动。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Christoffel型公式推广至一般拟正定厄米形式下的矩阵双正交多项式？
• RQ2 当扰动矩阵多项式的首项系数奇异时，计算Geronimus型变换的谱与非谱方法是什么？
• RQ3 Geronimus–Uvarov与Uvarov变换如何影响矩阵双正交多项式及其范数的结构？
• RQ4 伴随矩阵与拟行列式在矩阵多项式扰动下保持对称性的角色是什么？
• RQ5 这些矩阵正交多项式变换如何与非阿贝尔2D Toda与非交换KP等可积系统相关联？

主要发现

• 利用谱技术推导出首项系数非奇异的矩阵多项式的Christoffel–Geronimus公式，以谱射流表达扰动多项式与第二类函数。
• 提出一种非谱方法，即使在首项系数奇异时也适用，从而可处理单模Christoffel扰动。
• 对于单模矩阵多项式，本文提供了一个一次质量无Geronimus变换的简单例子，证明公式的适用性。
• 推导出Geronimus–Uvarov变换的谱/非谱混合公式，并应用于对称与hodographic扰动。
• 利用Christoffel–Darboux核的谱射流建立Christoffel–Uvarov公式，实现对扰动范数与多项式的显式计算。
• 证明了Baker函数、双正交多项式与τ-比矩阵函数之间的双线性恒等式，通过Miwa平移与Sato公式将变换理论与可积系统联系起来。