[论文解读] Transformations between nonlocal and local integrable equations

Bo Yang, Jianke Yang|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 31被引用 9

一句话总结

本文提出了一类简单的变量变换，可将一大类非局部可积方程（如PT对称NLS方程、Davey-Stewartson方程和改进的KdV方程）转化为其对应的局部形式。这些变换确立了非局部方程的可积性，使人们能够从局部方程的解构造出非局部方程的解析解，并可推导出新的非局部方程，包括非局部超短脉冲方程、Sasa-Satsuma方程以及非线性扩散方程。

ABSTRACT

Recently, a number of nonlocal integrable equations, such as the PT-symmetric nonlinear Schrodinger (NLS) equation and PT-symmetric Davey-Stewartson equations, were proposed and studied. Here we show that many of such nonlocal integrable equations can be converted to local integrable equations through simple variable transformations. Examples include these nonlocal NLS and Davey-Stewartson equations, a nonlocal derivative NLS equation, the reverse space-time complex modified Korteweg-de Vries (CMKdV) equation, and many others. These transformations not only establish immediately the integrability of these nonlocal equations, but also allow us to construct their analytical solutions from solutions of the local equations. These transformations can also be used to derive new nonlocal integrable equations. As applications of these transformations, we use them to derive rogue wave solutions for the partially PT-symmetric Davey-Stewartson equations and the nonlocal derivative NLS equation. In addition, we use them to derive multi-soliton and quasi-periodic solutions in the reverse space-time CMKdV equation. Furthermore, we use them to construct many new nonlocal integrable equations such as nonlocal short pulse equations, nonlocal nonlinear diffusion equations, and nonlocal Sasa-Satsuma equations.

研究动机与目标

• 建立一种系统化的方法，将非局部可积方程转化为等价的局部可积方程。
• 利用已知的局部方程解，构造其非局部对应方程的解析解。
• 通过变换技术生成新的非局部可积方程类别。
• 利用该变换框架分析非局部系统中的解动力学，如怪波和多孤子结构。
• 阐明非局部与局部可积系统在非线性波理论中的深层结构联系。

提出的方法

• 应用复变换和时间反演变换，如 $ x \to i\hat{x}, t \to -\hat{t} $，将非局部方程映射为局部形式。
• 使用逆变换从已知的局部方程解出发，生成非局部方程的解。
• 应用如 $ x \to ix, t \to it $ 或 $ x \to ix, t \to -t $ 等变换，从局部方程推导出新的非局部可积方程。
• 利用变换框架，为非局部方程推导出显式解，包括怪波和多孤子解。
• 通过推导特定方程（如反向时空CMKdV方程和部分PT对称DS方程）的解来验证该方法的有效性。
• 将该方法扩展至高维和多组分系统，包括(2+1)维NLS方程和三波相互作用方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过简单的变量变换，将如PT对称NLS方程和Davey-Stewartson方程等非局部可积方程转化为局部可积方程？
• RQ2 如何利用局部可积方程的解来构造其非局部对应方程的解析解？
• RQ3 利用这些变换技术可生成哪些新的非局部可积方程类别？
• RQ4 该变换方法能否用于推导非局部系统中复杂的解结构，如怪波和多孤子？
• RQ5 这些变换揭示的非局部与局部可积方程之间的基本结构关系是什么？

主要发现

• 通过 $ x \to i\hat{x}, t \to -\hat{t} $ 变换，PT对称NLS方程被转化为局部非聚焦NLS方程，从而确认了其可积性。
• 部分PT对称Davey-Stewartson方程和非局部导数NLS方程的怪波解，均源自局部聚焦NLS方程的Peregrine解。
• 通过变换方法，利用局部CMKdV方程的解，构造出了反向时空CMKdV方程中的多孤子解和准周期解。
• 该变换方法生成了新的非局部可积方程，包括非局部超短脉冲方程、非线性扩散方程、Sasa-Satsuma方程以及Chen-Lee-Liu方程。
• 反向时空非局部扩散方程的解表现出指数衰减，但在椭圆 $ 4x^2 + 16t^2 = 1 $ 上发生爆破，表明存在有限时间奇点。
• 通过 $ x \to ix, t \to -it $ 变换，从局部Sasa-Satsuma方程导出了反向时空Sasa-Satsuma方程，其他方程亦同理，从而确认了其可积性。