[论文解读] Transformations in quantum networks via local operations assisted by finitely many rounds of classical communication

Cornelia Spee, Tristan Kraft|arXiv (Cornell University)|May 3, 2021

Quantum Information and Cryptography参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文研究了在有限轮次的局部操作与经典通信（LOCC）下，基于最大纠缠两量子比特态的量子网络中确定性与概率性态变换。研究发现，尽管在树状网络中所有SLOCC等价态均可实现，但含环路的网络存在根本性限制：某些态即使在概率性协议下也难以实现，且仅需单次测量的协议对某些态不足，必须采用多次测量才能实现特定纠缠态。

ABSTRACT

Recent advances have led towards first prototypes of quantum networks in which entanglement is distributed by sources producing bipartite entangled states. This raises the question of which states can be generated in quantum networks based on bipartite sources using local operations and classical communication. In this work, we study state transformations under finite rounds of local operations and classical communication (LOCC) in networks based on maximally entangled two-qubit states. We first derive the symmetries for arbitrary network structures, as these determine which transformations are possible. Then, we show that contrary to tree graphs, for which it has already been shown that any state within the same entanglement class can be reached, there exist states which can be reached probabilistically but not deterministically if the network contains a cycle. Furthermore, we provide a systematic way to determine states which are not reachable in networks consisting of a cycle. Moreover, we provide a complete characterization of the states which can be reached in a cycle network with a protocol where each party measures only once, and each step of the protocol results in a deterministic transformation. Finally, we present an example which cannot be reached with such a simple protocol, and constitutes, up to our knowledge, the first example of a LOCC transformation among fully entangled states requiring three rounds of classical communication.

研究动机与目标

• 确定在有限轮次LOCC协议下，哪些纠缠态可在量子网络中实现确定性变换。
• 识别网络拓扑结构（特别是环路）对态可达性的结构性限制，即使在SLOCC等价下亦存在限制。
• 基于局部对称性，建立系统化方法以排除含环路网络中不可达态的类别。
• 表征通过每方仅测量一次的协议可实现的所有态，并展示某些情况下需超过一次测量才能实现。

提出的方法

• 推导任意网络结构下的全部局部对称性，表明其受形式 $ Y \otimes Y^{-T} $ 的约束，适用于最大纠缠态。
• 利用对称性结构，通过方程 $ V_i^{(j)} h_j = h_j S_i^{(j)} $ 建立确定性LOCC变换的必要条件，将局部操作与目标态算符关联。
• 采用系统化方法，通过分析目标态对称性与初始网络态对称性的兼容性，识别不可达态。
• 利用POVM和局部酉操作构建显式协议，实现目标态，包括每方需多次测量的情形。
• 以三角形网络为例进行案例研究，利用贝尔对角态与非简并对称性结构，证明可达性的限制。
• 采用密度矩阵的标准形式与对称性分解，对单次测量协议下的可达态进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在含环路的量子网络中，是否所有SLOCC等价态均可通过有限轮次LOCC实现？
• RQ2 网络拓扑结构（特别是环路）对可达纠缠态集合施加了何种结构性限制？
• RQ3 是否存在可通过概率性协议实现但无法通过确定性协议实现的态？
• RQ4 所有可达态是否均可通过每方仅测量一次的协议实现？
• RQ5 在含环路网络中，实现某些纠缠态所需的最少测量轮次数是多少？

主要发现

• 在含环路的量子网络中，即使在树状网络中可实现的所有SLOCC等价态，也并非都能实现确定性变换。
• 目标态的局部对称性必须与初始最大纠缠态的对称性兼容，且在含环路网络中该兼容性要求更严格。
• 建立了一套系统化方法，通过方程 $ V_i^{(j)} h_j = h_j S_i^{(j)} $ 检查对称性兼容性，可排除整类不可达态。
• 对于三角形网络，具有非简并对称性结构的态（如 $ H_3 = U_1^ op (\mathbf{1} + c\sigma_z \otimes \sigma_z) U_1 $）无法通过单次测量协议实现，除非各方进行多次测量。
• 构建了一个显式协议，通过三轮测量实现特定纠缠态，证明单次测量协议对某些态不足。
• 本文证明，尽管对称性 $ \sigma_x^{ ensors{6}} $ 与目标态可对易，但其无法扩展可达性范围，其效果已被类似恒等的对称性所覆盖。