[论文解读] Transition to turbulence when the Tollmien-Schlichting and bypass routes coexist

Stefan Zammert, Bruno Eckhardt|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2017

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 74被引用 5

一句话总结

本研究通过直接数值模拟（DNS）映射了平面泊塞流（plane Poiseuille flow）的状态空间，揭示了托尔米恩-施利希廷（Tollmien-Schlichting, TS）波与旁路转捩（bypass transition）共存与竞争的机制。结果表明，在临界雷诺数（Rec ≈ 5815）以下，TS波仅从极小的初始条件集合中出现，而有限振幅扰动则主导于旁路转捩；在Rec以上，两种转捩路径均导致湍流，但时间尺度不同，且由旁路边缘态的稳定流形定义了清晰的转变边界。

ABSTRACT

Plane Poiseuille flow, the pressure driven flow between parallel plates, shows a route to turbulence connected with a linear instability to Tollmien-Schlichting (TS) waves, and another one, the bypass transition, that is triggered with finite amplitude perturbation. We use direct numerical simulations to explore the arrangement of the different routes to turbulence among the set of initial conditions. For plates that are a distance $2H$ apart and in a domain of width $2\pi H$ and length $2\pi H$ the subcritical instability to TS waves sets in at $Re_{c}=5815$ that extends down to $Re_{TS}\approx4884$. The bypass route becomes available above $Re_E=459$ with the appearance of three-dimensional finite-amplitude traveling waves. The bypass transition covers a large set of finite amplitude perturbations. Below $Re_c$, TS appear for a tiny set of initial conditions that grows with increasing Reynolds number. Above $Re_c$ the previously stable region becomes unstable via TS waves, but a sharp transition to the bypass route can still be identified. Both routes lead to the same turbulent in the final stage of the transition, but on different time scales. Similar phenomena can be expected in other flows where two or more routes to turbulence compete.

研究动机与目标

• 研究亚临界平面泊塞流中托尔米恩-施利希廷（TS）波与旁路转捩路径之间的共存与竞争关系。
• 映射导致TS波或旁路转捩的初始条件在状态空间中的分布。
• 识别分隔两种转捩路径的动力边界，尤其关注临界雷诺数Rec ≈ 5815附近的情况。
• 理解旁路边缘态的稳定流形如何组织状态空间并决定转捩类型。

提出的方法

• 在2π×2π×2H的计算域中，使用Channelflow对平面泊塞流进行直接数值模拟（DNS），设置Nx = Nz = 32，Ny = 65。
• 采用状态空间的二维截面，参数化变量为α ∈ [0,1]，在TS波（TWT S）与旁路边缘态（TWE）的流场之间进行插值。
• 对数千个初始条件追踪转捩时间与最终状态，以识别导致TS或旁路湍流的区域。
• 应用边缘追踪方法定位旁路边缘态（TWE），并计算其稳定流形。
• 分析TWT S与TWE的分岔图，以确定其稳定性及振幅随雷诺数的变化规律。
• 利用双对数图分析TWE振幅随Re的衰减行为，发现其符合∝Re−0.52的幂律关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平面泊塞流的状态空间中，导致TS波与旁路转捩路径的初始条件集合之间存在何种关联？
• RQ2 旁路边缘态（TWE）的稳定流形在分隔TS与旁路转捩区域中起何种作用？
• RQ3 随着雷诺数的增加，TS波的吸引盆（basin of attraction）大小如何演变？
• RQ4 在临界雷诺数Rec ≈ 5815以上，当层流剖面变为线性不稳定时，转捩动力学行为如何变化？
• RQ5 两种转捩路径在多大程度上导致相同的最终湍流状态？它们的时间尺度有何差异？

主要发现

• 在Rec ≈ 5815以下，导致TS波的初始条件集合极为稀少，且随Re增加而扩大；而有限振幅扰动则主导于旁路转捩。
• 在Re > Rec时，旁路边缘态（TWE）的稳定流形作为清晰的边界，分隔了通过旁路转捩（快速）与通过TS波转捩（缓慢）的初始条件。
• 对于Re > Rec，没有任何初始条件返回到层流状态；然而，当振幅穿过TWE的稳定流形时，转捩时间出现突然下降，表明已切换至旁路路径。
• 旁路边缘态TWE的振幅在大Re下呈现∝Re−0.52的幂律衰减，与理论预期一致。
• TS波（TWT S）在Re ≈ 4685以下仍为亚临界，其下支态在5727 < Re < 5815范围内仅有一个不稳定特征值，因此可视为边缘态。
• 尽管两种路径的流动结构不同——TS波具有跨向涡旋，而旁路态具有顺向涡旋——但两者最终均演化为相同的湍流状态。