[论文解读] Transportation-information inequalities for Markov processes (II) : relations with other functional inequalities

Arnaud Guillin, Christian Léonard+2 more|ArXiv.org|Feb 12, 2009

Point processes and geometric inequalities参考文献 22被引用 24

一句话总结

本文建立了对称马尔可夫过程中运输-信息不等式 $W_pI$ 与其他泛函不等式之间的联系，证明了 $W_pI$ 蕴含经典的运输-熵不等式 $W_pH$ 及其相关的集中性质。此外，本文将 $W_1I$ 与谱间隙及类似切赫的等周不等式联系起来，并表明在测试函数满足可积性条件时，$\Phi$-Sobolev 不等式蕴含 $W_pI$。

ABSTRACT

We continue our investigation on the transportation-information inequalities $W_pI$ for a symmetric markov process, introduced and studied in \cite{GLWY}. We prove that $W_pI$ implies the usual transportation inequalities $W_pH$, then the corresponding concentration inequalities for the invariant measure $μ$. We give also a direct proof that the spectral gap in the space of Lipschitz functions for a diffusion process implies $W_1I$ (a result due to \cite{GLWY}) and a Cheeger type's isoperimetric inequality. Finally we exhibit relations between transportation-information inequalities and a family of functional inequalities (such as $Φ$-log Sobolev or $Φ$-Sobolev).

研究动机与目标

• 阐明在对称马尔可夫过程背景下 $W_pI$ 不等式的含义及其与经典泛函不等式的关系。
• 建立 $W_pI$ 蕴含标准 $W_pH$ 运输-熵不等式及不变测度 $\mu$ 的相关集中性质。
• 证明在利普希茨函数空间中的谱间隙可推出 $W_1I$，并由此导出类似切赫的等周不等式。
• 在测试函数满足适当可积性条件时，证明 $\Phi$-Sobolev 不等式蕴含 $W_pI$。
• 通过大偏差与共轭凸分析的统一框架，整合 $W_pI$、$W_pH$、$\Phi$-Sobolev 及 Orlicz-Poincaré 不等式。

提出的方法

• 利用大偏差技术，通过生成元 $\mathcal{L}$ 的谱界与 Legendre-Fenchel 变换 $\alpha^*$ 刻画 $\alpha$-$T_{\mathcal{V}}I$ 不等式。
• 应用相对熵与费舍尔信息的变分表示，推导出 $W_p(\nu,\mu)$ 关于 $I(\nu|\mu)$ 的界。
• 在 Orlicz 空间中运用柯西-施瓦茨与赫尔德不等式，控制在 $\Phi$-Sobolev 与 Poincaré 假设下 $\int |f-1|u\,d\mu$ 的大小。
• 依赖于 $\alpha$-$T_{\mathcal{V}}I$ 与过程时间平均泛函偏差界 (1.6) 的等价性。
• 利用 $\Psi$-Orlicz 范数与 $\Phi$-Sobolev 不等式之间的对偶性，从 $\mu$ 下 $u^p$ 的可积性推导出 $W_pI$。
• 应用不等式 $W_p^p(\nu,\mu) \leq 2^{p-1}\|d(\cdot,x_0)^p(\nu-\mu)\|_{TV}$，将 $W_p$ 距离与总变差范数关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否 $W_pI$ 不等式蕴含经典的 $W_pH$ 运输-熵不等式？
• RQ2 能否利用利普希茨函数空间中的谱间隙推导出扩散过程的 $W_1I$？
• RQ3 在可积性条件下，$\Phi$-Sobolev 不等式与 $W_pI$ 不等式之间存在何种关系？
• RQ4 $W_pI$ 不等式如何与马尔可夫过程加法泛函的集中性及偏差界相关联？
• RQ5 凸共轭 $\alpha^*$ 在通过谱界刻画 $\alpha$-$T_{\mathcal{V}}I$ 不等式中起什么作用？

主要发现

• $W_pI$ 蕴含 $W_pH$ 运输-熵不等式，即对所有 $\nu$ 有 $W_p(\nu,\mu)^2 \leq 2C H(\nu|\mu)$。
• 在利普希茨函数空间中的谱间隙蕴含 $W_1I$，即 $W_1(\nu,\mu)^2 \leq 4C^2 I(\nu|\mu)$，并给出了直接证明。
• 从 $W_1I$ 导出了类似切赫的等周不等式，将几何等周性与泛函不等式联系起来。
• 在 $\Phi$-Sobolev 与 Poincaré 不等式下，对所有 $\nu$ 有 $W_p^p(\nu,\mu) \leq \sqrt{C_1' I(\nu|\mu)^2 + C_2' I(\nu|\mu)}$。
• 当 $p \geq 2$ 时，存在 $\kappa > 0$ 使得 $\kappa([1+W_2(\nu,\mu)^4]^{p/4} - 1) \leq I(\nu|\mu)$ 成立，将 $W_2$ 距离与费舍尔信息联系起来。
• 当 $d^p(\cdot,x_0) \in L^\Psi(\mu)$ 且 $\Psi$ 是 $\Phi$ 的共轭函数时，$\Phi$-Sobolev 与 Poincaré 不等式蕴含 $W_pI$ 不等式。