[论文解读] Transverse Dynamics and Regions of Stability for Nonlinear Hybrid Limit Cycles

Ian R. Manchester|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Robotic Locomotion and Control参考文献 21被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种新颖算法，通过构建横向动力学并利用平方和（SOS）优化来验证李雅普诺夫函数下的轨道稳定性，从而计算非线性混合极限环的内估计吸引域。该方法实现了对复杂系统（包括混合系统和欠驱动机器人）中周期轨道稳定域的保守且计算可行的估计，适用于控制与运动规划。

ABSTRACT

This paper presents an algorithm for computing inner estimates of the regions of attraction of limit cycles of a nonlinear hybrid system. The basic procedure is: (1) compute the dynamics of the system transverse to the limit cycle; (2) from the linearization of the transverse dynamics construct a quadratic candidate Lyapunov function; (3) search for a new Lyapunov function verifying maximal regions of orbital stability via iterated of sum-of-squares programs. The construction of the transverse dynamics is novel, and valid for a broad class of nonlinear hybrid systems. The problem of stabilization of unstable limit cycles will also be addressed, and a solution given based on stabilization of the transverse linearization.

研究动机与目标

• 开发一种构造性方法，用于估计非线性混合极限环周围的内吸引域，这对动态系统中的控制与运动规划至关重要。
• 解决通过庞加莱映射或线性化方法通常仅能进行局部分析的全状态空间稳定性区域表征挑战。
• 将横向动力学构造方法扩展至广泛的非线性混合系统类别，实现对拉格朗日或分段线性结构之外系统的分析。
• 通过稳定横向线性化，实现对不稳定周期轨道的反馈控制器设计，确保指数轨道稳定性。
• 提供一种可扩展、数值可行的框架，利用平方和规划进行稳定性验证，适用于高维系统。

提出的方法

• 通过沿极限环定义一个时变的坐标系，使用与轨迹正交的时变向量场 $ z(\tau) $ 投影状态偏差，构建横向动力学。
• 推导横向动力学方程 $ \frac{d x_\bot}{dt} = A(\tau) x_\bot + h(x_\bot, \tau) $，其中 $ A(\tau) $ 为横向线性化，实现局部稳定性分析。
• 基于线性化横向动力学构造一个二次候选李雅普诺夫函数，作为稳定性区域的初始估计。
• 应用迭代平方和（SOS）优化以改进李雅普诺夫函数，在确保正定性的同时通过半定规划最大化轨道稳定区域。
• 通过一个光滑的非凸优化问题优化横向向量场 $ z(\tau) $，以最小化横向偏差范数的倒数，同时确保横向性和与混合系统中切换面的对齐。
• 使用整形函数 $ \rho(\tau) $ 确保与混合系统中碰撞面的对齐，保证在不连续点处横向坐标定义良好。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在高维状态空间中计算非线性混合极限环的保守内吸引域估计？
• RQ2 对于包含冲击和非拉格朗日结构的一般类非线性混合系统，是否存在系统化的方法来构建横向动力学？
• RQ3 平方和规划能否有效用于验证并扩展超出局部线性化的轨道稳定区域？
• RQ4 如何将横向动力学框架适配以设计稳定化反馈控制器，用于不稳定周期轨道？
• RQ5 何种优化策略可确保横向坐标的选择具有鲁棒性且无病态，避免奇点并改善稳定区域估计？

主要发现

• 所提方法成功计算了非线性混合极限环的轨道稳定区域的内估计，包括范德波尔振子、无轮轮和指南车行走器。
• 横向动力学构造在包括冲击在内的广泛系统类别中具有解析有效性，且无需拉格朗日形式等特殊结构假设。
• 采用平方和松弛方法可通过半定规划实现高效计算，使该方法可扩展至闭式解不可行的非平凡系统。
• 通过高阶 $ p $-范数（如 $ p=10 $ 到 $ 100 $）优化横向向量场 $ z(\tau) $，可获得光滑且适定的问题，近似 $ L^\infty $-范数行为，避免奇点。
• 通过稳定横向线性化，该方法可实现对不稳定极限环的反馈控制，且闭环稳定区域可使用相同框架进行分析。
• 该技术在计算效率和可扩展性方面优于基于网格或单元到单元映射的方法，尤其在高维系统中表现更优。