[论文解读] Triangulated categories of mixed motives

Denis-Charles Cisinski, Frédéric Déglise|Dec 10, 2009

Psychological Testing and Assessment被引用 12

一句话总结

本文在有限维诺特概赋环上构建了混合动机的三角范畴，扩展了福沃德斯基在域上的框架。通过下降理论、通过变换的奇点解耦以及奎伦的K-理论局部化，建立了有理系数下的格罗滕迪克六操作形式系统，证明了绝对纯化定理，并为构造性动机层建立了格罗滕迪克-维尔德耶对偶性版本。

ABSTRACT

This book discusses the construction of triangulated categories of mixed motives over a noetherian scheme of finite dimension, extending Voevodsky's definition of motives over a field. In particular, it is shown that motives with rational coefficients satisfy the formalism of the six operations of Grothendieck. This is achieved by studying descent properties of motives, as well as by comparing different presentations of these categories, following and extending insights and constructions of Deligne, Beilinson, Bloch, Thomason, Gabber, Levine, Morel, Voevodsky, Ayoub, Spitzweck, Röndigs, Østvær, and others. In particular, the relation of motives with $K$-theory is addressed in full, and we prove the absolute purity theorem with rational coefficients, using Quillen's localization theorem in algebraic $K$-theory together with a variation on the Grothendieck-Riemann-Roch theorem. Using resolution of singularities via alterations of de Jong-Gabber, this leads to a version of Grothendieck-Verdier duality for constructible motivic sheaves with rational coefficients over rather general base schemes. We also study versions with integral coefficients, constructed via sheaves with transfers, for which we obtain partial results. Finally, we associate to any mixed Weil cohomology a system of categories of coefficients and well behaved realization functors, establishing a correspondence between mixed Weil cohomologies and suitable systems of coefficients. The results of this book have already served as ground reference in many subsequent works on motivic sheaves and their realizations, and pointers to the most recent developments of the theory are given in the introduction.

研究动机与目标

• 将福沃德斯基在域上的动机理论扩展至有限维一般诺特概赋环上的混合动机。
• 在代数几何中为有理系数动机建立格罗滕迪克六操作形式系统。
• 利用代数K-理论中的奎伦局部化定理及格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的变体，证明绝对纯化定理。
• 为一般基概赋上具有有理系数的构造性动机层发展格罗滕迪克-维尔德耶对偶性的版本。
• 通过行为良好的实现实现函子，将混合韦伊上同调与系数系统联系起来。

提出的方法

• 通过带有转移的层与尼兹维施拓扑，利用模型范畴技术构建混合动机的三角范畴。
• 应用P-纤维化范畴与超覆盖的下降理论，以确保同伦不变性与局部化性质。
• 利用变换的奇点解耦（德荣-加伯尔）建立纯化与对偶性结果。
• 利用代数K-理论中奎伦的局部化定理，证明有理系数下的绝对纯化定理。
• 引入格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的变体，以在动机设定中关联陈类与上推。
• 通过系数系统，从动机范畴建立到混合韦伊上同调的实现实现函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 福沃德斯基在域上的动机复形如何推广至任意有限维诺特概赋环上的混合动机？
• RQ2 在一般基概赋上，有理系数动机的格罗滕迪克六操作形式系统是否成立？
• RQ3 能否在动机设定中，利用代数K-理论与奇点解耦证明绝对纯化定理？
• RQ4 在动机框架中，混合韦伊上同调与系数系统之间存在何种关系？
• RQ5 整系数动机在多大程度上满足六操作形式系统？其局限性是什么？

主要发现

• 有限维诺特概赋环上具有有理系数的混合动机三角范畴，具备完整的格罗滕迪克六操作形式系统。
• 具有有理系数的动机层满足绝对纯化定理，其证明基于奎伦的局部化定理与修改后的格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理。
• 通过变换，为一般基概赋上具有有理系数的构造性动机层建立了格罗滕迪克-维尔德耶对偶性的版本。
• 在混合韦伊上同调与系数系统之间建立了对应关系，动机范畴中存在行为良好的实现实现函子。
• 对于整系数，通过带有转移的层构造出三角范畴，但六操作形式系统仅部分成立。
• 本成果为后续动机层理论的发展（包括étale动机、动机稳定同伦理论及增强实现实现）提供了基础参考。