[论文解读] Triple cyclic codes over $\mathbb{Z}_2$

Hojjat Mostafanasab|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文将 $ℤ_2$ 上的三重循环码定义为乘积环中 $ℤ_2[x]$-子模，通过生成多项式和极小生成集刻画其结构。主要贡献是完整刻画了对偶码，包括对偶生成元的显式公式和维数关系，推广了关于双循环码的早期结果。

ABSTRACT

Let $r,s,t$ be three positive integers and $\mathcal{C}$ be a binary linear code of lenght $r+s+t$. We say that $\mathcal{C}$ is a triple cyclic code of lenght $(r,s,t)$ over $\mathbb{Z}_2$ if the set of coordinates can be partitioned into three parts that any cyclic shift of the coordinates of the parts leaves invariant the code. These codes can be considered as $\mathbb{Z}_2[x]$-submodules of $\frac{\mathbb{Z}_2[x]}{\langle x^r-1 angle} imes\frac{\mathbb{Z}_2[x]}{\langle x^s-1 angle} imes\frac{\mathbb{Z}_2[x]}{\langle x^t-1 angle}$. We give the minimal generating sets of this kind of codes. Also, we determine the relationship between the generators of triple cyclic codes and their duals.

研究动机与目标

• 将三重循环码在 $ℤ_2$ 上的形式化定义为商环乘积中 $ℤ_2[x]$-子模的代数结构。
• 确定这些码的极小生成集和生成多项式，扩展双循环码的理论。
• 建立完整的对偶理论，包括对偶码生成元的显式公式和维数公式。
• 将已知的双循环码结果推广至三重情形，特别是在 $ℤ_2$-线性码的背景下。

提出的方法

• 将三重循环码定义为在长度分别为 $r$、$s$ 和 $t$ 的三个不相交坐标块内，对循环移位不变的线性码。
• 将码表示为 $ℤ_2[x]/⌈ x^r-1⌉ \times ℤ_2[x]/⌈ x^s-1⌉ \times ℤ_2[x]/⌈ x^t-1⌉$ 中的 $ℤ_2[x]$-子模。
• 使用多项式乘法 $*$ 来建模循环移位，其中 $x * c(x)$ 对应该码字 $c(x)$ 的循环移位。
• 通过生成多项式 $F_1(x), F_2(x), G_1(x), G_3(x)$ 刻画码，并利用多项式最大公因式和商结构推导极小生成集。
• 通过对偶性推导对偶码生成元 $̂{F_1}(x), ̂{F_2}(x), ̂{G_1}(x), ̂{G_2}(x), ̂{G_3}(x)$，使用互逆多项式和最大公因式恒等式。
• 通过校验矩阵的秩分析和生成元的次数关系，推导对偶码投影的维数公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何正式定义并代数化三重循环码在 $ℤ_2$ 上的结构，使其成为 $ℤ_2[x]$-子模？
• RQ2 此类码的极小生成集和生成多项式是什么？它们与分量循环码有何关系？
• RQ3 三重循环码的生成元与其对偶码生成元之间的精确关系是什么？
• RQ4 对偶码投影的维数与原始生成元的次数之间有何关系？
• RQ5 双循环码的对偶理论能否推广至三重情形，并给出显式公式？

主要发现

• 三重循环码是 $ℤ_2[x]/⌈ x^r-1⌉ \times ℤ_2[x]/⌈ x^s-1⌉ \times ℤ_2[x]/⌈ x^t-1⌉$ 中的 $ℤ_2[x]$-子模，且在每个块内对循环移位不变。
• 三重循环码的最小距离满足 $d(Χ) \geq \min\{d(Χ_r), d(Χ_s), d(Χ_t)\}$，当码可分离时取等。
• 对于码 $Χ = \langle (F_1(x)\mid 0\mid 0), (0\mid F_2(x)\mid 0), (G_1(x)\mid 0\mid G_3(x)) \rangle$，其对偶码投影的大小分别为 $2^{\deg(F_1(x))}$、$2^{\deg(F_2(x))}$ 和 $2^{\deg(G_3(x)) + \kappa}$，其中 $\kappa = \deg(F_1(x)) - \deg(\gcd(F_1(x), G_1(x)))$。
• 对偶生成元 $\widehat{G_3}(x)$ 的次数为 $\deg(\widehat{G_3}(x)) = t - \deg(G_3(x)) - \deg(F_1(x)) + \deg(\gcd(F_1(x), G_1(x)))$。
• 对偶生成元 $\widehat{G_3}(x)$ 显式给出为 $\widehat{G_3}(x) = \frac{(x^t - 1) \gcd(F_1^*(x), G_1^*(x))}{F_1^*(x) G_3^*(x)}$ 模 $x^t - 1$。
• 生成元 $\widehat{G_1}(x)$ 满足涉及 $\nu(x)$、$\zeta(x)$ 和互逆多项式的同余关系，其中 $\nu(x) = x^{m - \deg(G_3(x)) + \deg(G_1(x))} (\zeta^*(x))^{-1}$ 模 $\frac{F_1^*(x)}{\gcd(F_1^*(x), G_1^*(x))}$。