[论文解读] Trivial Low Energy States for Commuting Hamiltonians, and the Quantum PCP Conjecture

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

该论文建立了在何种条件下，具有可交换投影算符相互作用的可交换哈密顿量拥有平凡低能态，即可以通过作用于产品态的有界深度局部量子线路制备的态。关键贡献是一个拓扑判据：若哈密顿量的相互作用复形可连续映射至一个预像直径一致有界的1-复形，则该哈密顿量具有平凡低能态，从而为理解可交换模型下的量子PCP猜想提供了一条结构性路径。

ABSTRACT

We consider whether or not Hamiltonians which are sums of commuting projectors have "trivial" ground states which can be constructed by a local quantum circuit of bounded depth and range acting on a product state. While the toric code only has nontrivial ground states, commuting projector Hamiltonians which are sums of two-body interactions have trivial ground states. We define an "interaction complex" for a Hamiltonian, generalizing the interaction graph, and we show that if this complex can be continuously mapped to a 1-complex using a map with bounded diameter of pre-images then the Hamiltonian has a trivial ground state assuming one technical condition on the Hamiltonian (this condition holds for all stabilizer Hamiltonians, and we also prove the result for all Hamiltonians under an assumption on the 1-complex). While this includes cases considered by Ref., it also includes other Hamiltonians whose interaction complexes cannot be coarse-grained into the case of Ref. One motivation for this is the quantum PCP conjecture. Many commonly studied interaction complexes can be mapped to a 1-complex after removing a small fraction of sites. For commuting projector Hamiltonians on such complexes, a trivial ground state for the Hamiltonian with those sites removed is a low energy trivial state for the original Hamiltonian. Such states can act as a classical witness to the existence of a low energy state. While this result applies only to commuting Hamiltonians, it suggests that to prove a quantum PCP conjecture one should consider interaction complexes which cannot be mapped to 1-complexes after removing a small fraction of cells. We define this more precisely below; in a sense this generalizes the idea of an expander graph. Surprisingly, such complexes do exist as will be shown elsewhere, and have useful properties in quantum coding theory.

研究动机与目标

• 确定可交换哈密顿量在何种条件下具有平凡低能态，即可以通过作用于产品态的有界深度局部量子线路制备的态。
• 将先前关于一维和二维可交换哈密顿量基态平凡性的结果推广至更广泛的相互作用复形类别。
• 提出一个基于连续映射至1-复形且预像直径有界的拓扑判据，以判定平凡低能态的存在性。
• 通过识别在修改后的复形上可通过平凡态经典地验证低能态的哈密顿量，探索其对量子PCP猜想的启示。
• 研究那些在移除少数站点后仍难以进行粗粒化或映射至1-复形的相互作用复形，作为非平凡低能行为的候选者。

提出的方法

• 引入‘相互作用复形’的概念，以推广相互作用图，捕捉哈密顿量相互作用的高阶拓扑结构。
• 将‘可覆盖1-局域化’复形定义为可被覆盖空间粗粒化为树结构的复形，从而通过局部线路构造平凡态。
• 使用从相互作用复形到1-复形的连续映射，且预像直径一致有界，作为平凡低能态存在的充分条件。
• 通过使用簇的标记路径构造相互作用复形的通用覆盖，确保与局部哈密顿量结构兼容，并支持有界深度线路的构造。
• 证明：任何具有有界范围和度数的可覆盖1-局域化复形同时也是集合1-局域化复形，从而将拓扑结构与计算可处理性联系起来。
• 推测其逆命题成立：任何可覆盖1-局域化复形也是1-局域化复形，暗示拓扑平凡性与计算平凡性之间存在深层等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可交换哈密顿量的相互作用复形上，何种拓扑条件可保证平凡低能态的存在？
• RQ2 可交换哈密顿量中平凡低能态的类是否可超越一维或可粗粒化的相互作用复形类别？
• RQ3 在移除少量站点后的修改复形上，低能态在多大程度上可由平凡态经典地验证？
• RQ4 是否存在超越粗粒化至1-复形之外的结构性障碍，可作为可交换哈密顿量中非平凡低能行为的信号？
• RQ5 在移除少量站点后仍难以映射至1-复形的相互作用复形，是否对应于量子PCP猜想中最难的实例？

主要发现

• 若可交换哈密顿量的相互作用复形可连续映射至一个预像直径一致有界的1-复形，则该哈密顿量具有平凡低能态。
• 该条件推广了先前关于一维和二维模型（如拓扑码和Levin-Wen模型）中平凡性的结果。
• 该结果在哈密顿量满足一个技术性条件的前提下成立，该条件对所有稳定算符哈密顿量均成立，且推测在更广泛范围内也成立。
• 本文表明，许多常见研究的相互作用复形在仅移除少量站点后即可映射至1-复形，暗示在修改后的复形上存在的平凡态可作为低能态的经典见证。
• 研究提出，那些在小规模移除后仍难以实现此类映射的相互作用复形，可能是证明量子PCP猜想的关键目标，因其可能容纳非平凡低能态。
• 本文提供了一个框架——基于覆盖空间和粗粒化至树结构——使得拓扑结构可直接推导出量子态制备的计算平凡性。