[论文解读] Tropical gluing formulae for Gromov-Witten invariants

Brett Parker|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 9

一句话总结

本文为爆炸流形的格罗莫夫-威滕不变量建立了两个热带粘合公式，使得可通过横截退化进行计算。第一个公式推广了辛和公式，第二个公式扩展了康采维奇和马宁的分裂与亏格约化公理；两者均包含引力后代，并为退化情形下的辛不变量提供了热带框架。

ABSTRACT

We prove two tropical gluing formulae for Gromov-Witten invariants of exploded manifolds, useful for calculating Gromov-Witten invariants of a symplectic manifold using a normal-crossing degeneration. The first formula generalizes the symplectic-sum formula for Gromov-Witten invariants. The second formula is stronger, and also generalizes Kontsevich and Manin's splitting and genus-reduction axioms. Both tropical gluing formulae have versions incorporating gravitational descendants.

研究动机与目标

• 开发一种用于在退化辛几何中计算格罗莫夫-威滕不变量的热带框架。
• 利用热带几何将格罗莫夫-威滕不变量的辛和公式推广。
• 将康采维奇和马宁的分裂与亏格约化公理扩展至爆炸流形。
• 将引力后代纳入不变量的热带粘合公式中。
• 通过辛流形的横截退化，提供一种系统化的不变量计算方法。

提出的方法

• 利用爆炸流形理论来模拟辛结构的退化。
• 应用热带几何，通过组合粘合规则描述退化情形下的稳定映射。
• 通过分析爆炸范畴中稳定映射的模空间推导粘合公式。
• 通过将热带形式化系统扩展以包含后代类，来整合引力后代。
• 通过与康采维奇-马宁及辛和公式进行比较，建立与已知公理的一致性。
• 通过将模空间分解为对应于热带类型的层，实现递归计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用热带方法在存在横截退化的情况下计算格罗莫夫-威滕不变量？
• RQ2 热带粘合公式在格罗莫夫-威滕理论中在多大程度上推广了辛和公式？
• RQ3 热带形式化能否在退化情形下重现康采维奇和马宁的分裂与亏格约化公理？
• RQ4 引力后代如何被整合进不变量的热带粘合规则中？
• RQ5 爆炸流形在统一热带与辛格罗莫夫-威滕理论中起到什么作用？

主要发现

• 第一个热带粘合公式推广了爆炸流形中格罗莫夫-威滕不变量的辛和公式。
• 第二个公式将康采维奇和马宁的分裂与亏格约化公理扩展至爆炸和热带设定。
• 两个公式均适用于包含引力后代的不变量，提供了一个统一的热带框架。
• 结果与已知不变量一致，并为退化情形下的格罗莫夫-威滕不变量计算提供了递归方法。
• 该框架通过将不变量分解为热带类型并在余维数一的层上粘合，实现了显式计算。
• 该理论在爆炸流形的背景下建立，为退化辛几何提供了自然的设定。