[论文解读] Tropical Intersection Theory from Toric Varieties

Eric Katz|ArXiv.org|Jul 15, 2009

Plant responses to water stress参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文通过混合闵可夫斯基权重将两个主要的热带交点理论——Allermann-Rau 与 Mikhalkin——联系到射影簇上的查禾上同调，从而建立了它们之间的等价性。该文引入了射影簇子簇上的诱导热带交点理论，为 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上的热带 $ψ$-类交点计算经典交点数提供了概念性证明。

ABSTRACT

We apply ideas from intersection theory on toric varieties to tropical intersection theory. We introduce mixed Minkowski weights on toric varieties which interpolate between equivariant and ordinary Chow cohomology classes on complete toric varieties. These objects fit into the framework of tropical intersection theory developed by Allermann and Rau. Standard facts about intersection theory on toric varieties are applied to show that the definitions of tropical intersection product on tropical cycles in $\R^n$ given by Allermann-Rau and Mikhalkin are equivalent. We introduce an induced tropical intersection theory on subvarieties on a toric variety. This gives a conceptional proof that the intersection of tropical $ψ$-classes on $\cmbar_{0,n}$ used by Kerber and Markwig computes classical intersection numbers.

研究动机与目标

• 建立 Allermann-Rau 与 Mikhalkin 热带交点理论之间的等价性。
• 在射影簇的子簇上引入诱导的热带交点理论。
• 提供一个概念性证明，说明 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上的热带 $ψ$-类交点可计算经典交点数。
• 展示如何利用射影几何与查禾上同调统一并推广热带交点理论。

提出的方法

• 引入混合闵可夫斯基权重作为完全射影簇上等变与普通查禾上同调之间的混合对象。
• 定义从混合闵可夫斯基权重到查禾上同调的映射 $κ$，并证明热带柯尔代尔除子 $(c,f)$ 的关联韦尔除子等于 $κ(c,f)$。
• 利用 Fulton 与 Sturmfels 提出的扇形位移法则描述查禾上同调中的上积，将其与 Mikhalkin 的稳定交点联系起来。
• 通过利用射影簇的组合结构，将一般热带循环交点问题约化为扇形情形。
• 通过 Kapranov 的构造将 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 嵌入光滑射影簇 $X(\Delta)$，从而借助射影几何实现热带交点。
• 将 $ψ$-类从 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 提升为热带化上的分段线性函数，构造出作为混合闵可夫斯基权重的热带 $ψ$-类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^n$ 中，Allermann-Rau 与 Mikhalkin 的热带交点理论对热带循环是否等价？
• RQ2 能否通过查禾上同调在射影簇的子簇上诱导出热带交点理论？
• RQ3 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上的热带 $ψ$-类交点数是否与经典交点数一致？
• RQ4 混合闵可夫斯基权重与射影簇上的等变及普通查禾上同调之间有何关系？
• RQ5 能否通过射影几何利用 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 的热带化来计算经典交点数？

主要发现

• 通过混合闵可夫斯基权重将两者均约化为查禾上同调，证明了 Allermann-Rau 与 Mikhalkin 热带交点理论的等价性。
• 混合闵可夫斯基权重在等变与普通查禾上同调之间架起桥梁，映射 $\kappa$ 将 $(c,f)$ 映射到其关联的韦尔除子。
• Mikhalkin 理论中的交点积通过扇形位移法则对应于查禾上同调中的上积。
• Kerber 与 Markwig 定义的热带 $ψ$-类，通过 $\operatorname{Trop}(\mathcal{M}_{0,n})$ 上的分段线性函数提升为 $A^1(X(\Delta))$ 中的 $\binom{n-1}{2}\psi_k$，验证了缩放的正确性。
• 热带交点 $\Phi_{k_1} \cdot \ldots \cdot \Phi_{k_l} \cdot \operatorname{Trop}(\mathcal{M}_{0,n})$ 的次数等于经典交点数 $\deg(\prod \psi_{k_l} \cap [\overline{\mathcal{M}}_{0,n}])$，确认了热带计算的正确性。
• 在射影簇子簇上诱导的热带交点理论为概念性地实现经典交点数的热带计算提供了框架。