[论文解读] Tropical linear programming and parametric mean payoff games

Stéphane Gaubert, Ricardo D. Katz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2011

Polynomial and algebraic computation被引用 3

一句话总结

本文通过将热带线性规划问题约化为参数化平均收益博弈，提出了一套热带线性规划框架，其中通过具有无穷小博弈论性质的策略来证明最优性和无界性。该文提出了一种类似牛顿的算法，通过迭代求解辅助博弈问题，将策略视为经典拉格朗日乘子的热带类比。

ABSTRACT

Tropical polyhedra have been recently used to represent disjunctive invariants in static analysis. To handle larger instances, the tropical analogues of classical linear programming results need to be developed. This motivation leads us to study a general tropical linear programming problem. We construct an associated parametric mean payoff game problem, and show that the optimality of a given point, or the unboundedness of the problem, can be certified by exhibiting a strategy for one of the players having certain infinitesimal properties (involving the value of the game and its derivative) that we characterize combinatorialy. In other words, strategies play in tropical linear programming the role of Lagrange multipliers in classical linear programming. We use this idea to design a Newton-like algorithm to solve tropical linear programming problems, by reduction to a sequence of auxiliary mean payoff game problems.

研究动机与目标

• 开发用于处理静态分析中更大析取不变量的古典线性规划的热带类比。
• 解决在热带线性规划问题中认证最优性和无界性的挑战。
• 通过组合策略建立热带线性规划与参数化平均收益博弈之间的联系。
• 设计一种将热带线性规划约化为一系列平均收益博弈问题的类似牛顿算法。

提出的方法

• 本文构建了一个与热带线性规划问题相关的参数化平均收益博弈。
• 通过涉及博弈值及其导数的特定无穷小性质的策略来刻画最优性和无界性。
• 博弈问题中的策略充当了经典线性规划中拉格朗日乘子的热带类比。
• 该算法采用类似牛顿的更新方案，求解一系列辅助平均收益博弈问题。
• 在每一步迭代中，利用策略的组合条件来验证最优性或检测无界性。
• 将问题约化为平均收益博弈，使得可利用现有的博弈论算法求解热带线性规划问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将热带线性规划问题约化为参数化平均收益博弈？
• RQ2 在参数化平均收益博弈中，策略的哪些组合性质对应于热带线性规划中的最优性和无界性？
• RQ3 平均收益博弈中的策略能否充当经典拉格朗日乘子的热带类比？
• RQ4 如何基于这些博弈论约化设计一种类似牛顿的算法？
• RQ5 在热带线性规划中，哪些策略的无穷小条件可用来认证最优性？

主要发现

• 热带线性规划中给定解的最优性可通过具有特定无穷小性质的策略来认证，这些性质与博弈值及其导数相关。
• 热带线性规划问题的无界性同样可通过关联博弈中策略的性质来认证。
• 在参数化平均收益博弈中，策略扮演了经典线性规划中拉格朗日乘子的角色。
• 所提出的类似牛顿的算法将热带线性规划约化为求解一系列辅助平均收益博弈问题。
• 该方法为热带线性规划的可行性与最优性提供了构造性且组合化的认证机制。
• 该框架通过利用博弈论算法，实现了对热带线性规划问题的可扩展求解。