[论文解读] Truly Asymptotic Lower Bounds for Online Vector Bin Packing

János Balogh, Leah Epstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2020

Optimization and Packing Problems参考文献 22被引用 1

一句话总结

本文首次建立了在线向量装箱问题的真正渐近下界，证明了当 d ≥ 3 时，渐近竞争比为 Ω(d / log²d)。作者引入了新颖的自适应构造方法和组合论证，推导出所有维度下的紧致下界，显著改进了先前结果，并确定了渐近意义下竞争比的增长阶次。

ABSTRACT

In this work, we consider online vector bin packing. It is known that no algorithm can have a competitive ratio of $o(d/\log^2 d)$ in the absolute sense, though upper bounds for this problem were always shown in the asymptotic sense. Since variants of bin packing are traditionally studied with respect to the asymptotic measure and since the two measures are different, we focus on the asymptotic measure and prove new lower bounds on the asymptotic competitive ratio. The existing lower bounds prior to this work were much smaller than $3$ even for very large dimensions. We significantly improve the best known lower bounds on the asymptotic competitive ratio (and as a byproduct, on the absolute competitive ratio) for online vector packing of vectors with $d \geq 3$ dimensions, for every such dimension $d$. To obtain these results, we use several different constructions, one of which is an adaptive construction showing a lower bound of $Ω(\sqrt{d})$. Our main result is that the lower bound of $Ω(d/\log^2 d)$ on the competitive ratio holds also in the asymptotic sense. The last result requires a careful adaptation of constructions for online coloring rather than simple black-box reductions.

研究动机与目标

• 弥合高维在线向量装箱问题渐近竞争比已知上下界之间的差距。
• 为所有 d ≥ 3 建立紧致且非平凡的渐近竞争比下界，显著优于以往结果，即使在 d 较大时也远超 3。
• 开发新型构造方法——尤其是自适应构造——以获得更强的下界，包括 Ω(√d) 乃至最终 Ω(d/log²d)。
• 证明已知的绝对意义下 Ω(d/log²d) 下界在渐近意义下同样成立，这需要超越黑箱归约的精细调整。

提出的方法

• 设计并分析一族专为迫使在线算法产生高竞争比而量身定制的自适应输入构造。
• 利用组合优化与装箱可行性论证，对最优离线代价进行上界估计，同时对在线算法的代价进行下界估计。
• 引入辅助变量 (X′, Y′) 以追踪无法容纳第三部分物品的箱子，从而实现对多个对抗性第三部分选择的求和。
• 采用多部分输入序列，控制物品大小与分量分布，以模拟在线算法的最坏情况。
• 利用约束条件（如 3X + 2Y + Z = 6N, Q ≥ 2N）导出的不等式，并对第三部分的全部 10 种配置求和，推导出 R 的全局下界。
• 对不等式进行代数变形，消去变量，最终导出渐近竞争比 R 的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 高维向量的在线向量装箱问题的真实渐近竞争比是多少？
• RQ2 已知的绝对意义下 Ω(d/log²d) 下界能否推广至渐近竞争比？
• RQ3 哪些构造能为特定的小 d 和大 d 值提供最强的下界？
• RQ4 如何设计自适应、多部分的输入序列，以迫使在线代价升高，同时保持离线代价较低？

主要发现

• 在线向量装箱问题的渐近竞争比至少为 Ω(d / log²d)，首次建立了该阶次的真正渐近下界。
• 当 d > 16 时，ASYM(d) 的下界至少为 d−1 / (8(log₂d)³)，显著优于先前结果。
• 当 d 足够大时，本文证明了渐近竞争比的下界为 d / (211·(log₂d)²)。
• 一种构造方法对所有 d ≥ 2 给出了下界 ⌊√d−1⌋+2 / 2，当 d = 14 时该下界为 3。
• 当 d = 3 时，本文建立了渐近竞争比的下界为 9/4 = 2.25。
• 当 d = 8 时，本文证明了渐近竞争比的下界为 76/29 ≈ 2.620689655，这是该维度下目前已知最紧的下界。