[论文解读] Tug-of-War games and parabolic problems with spatial and time dependence

Leandro M. Del Pezzo, Julio D. Rossi|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Guidance and Control Systems参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文建立了具有空间与时间依赖性移动集的拔河游戏与一类含变系数的无穷范数拉普拉斯算子的抛物型PDE的粘性解之间的概率联系。通过将标准拔河游戏推广至允许由一族集合 $\mathcal{A}_\varepsilon(x,t)$ 控制的玩家移动，作者推导出一个哈密顿-雅可比-贝尔曼型方程，并证明游戏值的连续极限在 $\varepsilon \to 0$ 时一致收敛于满足狄利克雷边界条件的相应PDE的粘性解。

ABSTRACT

In this paper we use probabilistic arguments (Tug-of-War games) to obtain existence of viscosity solutions to a parabolic problem of the form $$ {cases} K_{(x,t)}(D u)u_t (x,t)= \frac12 $.

研究动机与目标

• 将通过拔河游戏对无穷范数拉普拉斯算子的概率解释推广至包含空间与时间依赖性移动集的情形。
• 刻画当游戏移动集同时依赖于空间与时间时，其在 $\varepsilon \to 0$ 极限下所生成的极限PDE。
• 通过博弈论方法，建立具有变系数的一类广义抛物型问题的粘性解存在性。
• 将经典拔河游戏框架推广，以允许非球形、各向异性和时间依赖的允许移动。

提出的方法

• 引入一种拔河游戏，其中玩家从依赖于空间与时间的集合族 $\mathcal{A}_\varepsilon(x,t)$ 中选择移动，取代标准的闭球 $\overline{B_\varepsilon(x)}$。
• 定义游戏值函数 $u_\varepsilon(x,t)$，其满足一个涉及 $\mathcal{A}_\varepsilon(x,t)$ 上上确界-下确界平均的动态规划原理（DPP）。
• 利用粘性解技术与紧致性论证，证明当 $\varepsilon \to 0$ 时 $u_\varepsilon$ 一致收敛于极限函数 $v$。
• 通过DPP的渐近分析，识别出极限PDE为 $K_{(x,t)}(Du)u_t = \frac{1}{2}\langle D^2u J_{(x,t)}(Du), J_{(x,t)}(Du) \rangle$。
• 在移动集满足假设A1–A4的条件下，利用粘性解框架验证极限函数在粘性意义下满足该PDE。
• 建立游戏最优策略与梯度方向之间的联系，通过定义移动集极值方向的映射 $J_{(x,t)}$ 与 $I_{(x,t)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些类别的抛物型PDE可作为具有空间与时间依赖性移动集的拔河游戏在连续极限下的结果？
• RQ2 移动集 $\mathcal{A}_\varepsilon(x,t)$ 的选择如何影响 $\varepsilon \to 0$ 时的极限PDE？
• RQ3 能否使用博弈论方法构造具有变系数的抛物型问题的粘性解？
• RQ4 对移动集需满足何种条件，才能保证游戏值收敛于一个定义良好的PDE的解？
• RQ5 映射 $J_{(x,t)}$ 与 $I_{(x,t)}$ 如何编码游戏动力学中的各向异性和时间依赖性行为？

主要发现

• 游戏值 $u_\varepsilon$ 的连续极限 $v$ 是区域 $\Omega_T$ 中抛物型PDE $K_{(x,t)}(Du)u_t = \frac{1}{2}\langle D^2u J_{(x,t)}(Du), J_{(x,t)}(Du) \rangle$ 的粘性解。
• 通过映射 $J_{(x,t)}$ 与 $I_{(x,t)}$ 引入的空间与时间依赖性，使极限PDE推广了无穷范数拉普拉斯演化方程。
• 在移动集满足假设A1–A4的条件下，一致收敛 $u_\varepsilon \rightrightarrows v$ 成立，当 $\varepsilon \to 0$。
• 粘性解满足边界条件 $v = F$ 在抛物边界 $\Gamma = \partial\Omega \times [0,T] \cup \Omega \times \{0\}$ 上。
• PDE结构自然源于动态规划原理的渐近展开，其中二阶项捕捉了 $J_{(x,t)}(Du)$ 方向上的曲率。
• 具体实例表明，不同移动集会产生不同的PDE：例如，当使用 $\mathcal{A}_1$ 时，PDE变为 $G(M,v,s,x,t) = \frac{c+1}{2}s - \frac{\rho^2}{2|v|^2}\langle Mv,v \rangle$（当 $v \neq 0$ 时）。