[论文解读] Tunnel Splitting in Asymmetric Double Well Potentials: An Improved WKB Calculation

Seyyed M. H. Halataei, Anthony J. Leggett|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用 7

一句话总结

本文提出了一种改进的Wentzel-Kramers-Brillouin（WKB）近似方法，用于计算一维非对称双势阱中的穿透分裂，表明该分裂与偏置能量 $\tilde{\epsilon}$ 呈线性依赖关系，与以往认为的 $\tilde{\epsilon}/V_0$ 标度相反。关键贡献在于推导出包含 $\tilde{\epsilon}/\bar{\epsilon}\omega$ 一阶修正项的校正穿透振幅表达式，表明这些效应比以往认识的更大且更具物理意义，特别是通过一个虚构能量 $\bar{E}$ 实现了Gamow因子与实际能级分裂的解耦。

ABSTRACT

We present an improved Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) calculation of tunnel splitting in one dimensional asymmetric double well potentials. We show that the tunnel splitting in general can have linear dependence on the bias energy, beside the well-known quadratic dependence. We demonstrate that the linear correction is greater than previously thought.

研究动机与目标

• 使用改进的WKB方法重新表达非对称双势阱中穿透分裂的表达式，以考虑势阱最小值附近势能非均匀性的影响。
• 挑战长期以来认为穿透分裂修正项与 $\tilde{\epsilon}/V_0$ 成比例的假设，表明 $\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$ 才是主导标度。
• 推导出不依赖于 $\Delta$ 本身值的自洽穿透振幅 $\Delta$ 表达式，避免先前方法中存在的循环依赖问题。
• 量化 $\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$ 的一阶修正项的大小，并证明其在真实物理系统中的显著性。

提出的方法

• 使用虚构能量 $\bar{E} = \frac{\hbar(\omega_L + \omega_R)}{4} + \frac{\tilde{\epsilon}}{2}$ 定义经典转折点 $\bar{a}, \bar{b}$，并计算作用量积分 $\bar{I}(\bar{E})$。
• 应用WKB连接公式，将左阱、势垒和右阱区域的波函数连接起来，确保在经典禁阻区域内的连续性。
• 通过Gamow因子 $e^{-2\bar{I}}$ 推导穿透振幅 $\Delta$，其中包含一个涉及 $\hbar\sqrt{\omega_R\omega_L}/\sqrt{e\pi}$ 的前因子，以及一个与 $k \epsilon / (4\hbar\omega_L) \cdot (\omega_R - \omega_L)/\omega_R$ 成比例的修正项，其中 $k = \gamma - \ln 2 \approx -0.11$。
• 对作用量 $I_L(\bar{E})$ 和 $I_R(\bar{E})$ 在最小值附近进行抛物线近似展开，包含来自势能曲率的对数项和常数项修正。
• 在Gamow因子的前因子和指数中均引入 $\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$ 的一阶修正项，从而得到 $\Delta(\tilde{\epsilon})$ 的完整表达式。
• 通过验证：当 $\tilde{\epsilon}/V_0$ 较小时，修正项可忽略；但当 $\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$ 有显著贡献时，修正项不可忽略，从而验证了方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非对称双势阱中的穿透分裂是否表现出对偏置能量 $\tilde{\epsilon}$ 的线性依赖，而不仅限于标准的二次依赖？
• RQ2 穿透振幅修正项的正确标度是 $\tilde{\epsilon}/V_0$ 还是 $\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$？这如何影响对非对称系统中量子隧穿的物理理解？
• RQ3 能否推导出一个不依赖于 $\Delta$ 本身值的自洽WKB穿透振幅 $\Delta$ 表达式，从而避免先前处理方法中的循环依赖问题？
• RQ4 $\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$ 的一阶修正项在SQUID或分子磁体等真实物理系统中有多显著？
• RQ5 在何种条件下，$\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$ 的一阶修正项会相互抵消或保持非零？

主要发现

• 穿透分裂 $\Delta E = \sqrt{\epsilon^2 + \Delta^2}$ 包含对偏置能量 $\tilde{\epsilon}$ 的线性依赖，其中 $\epsilon = \tilde{\epsilon} + \frac{\hbar(\omega_R - \omega_L)}{2}$，表明分裂并非完全关于 $\tilde{\epsilon}$ 的二次函数。
• 穿透振幅 $\Delta$ 的主导修正项为 $\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$ 阶，而非以往认为的 $\tilde{\epsilon}/V_0$ 阶，因此其影响更大且更具物理相关性。
• 所推导的 $\Delta(\tilde{\epsilon})$ 表达式是自洽的，不依赖于 $\Delta $ 本身的值，解决了早期WKB处理中的关键缺陷。
• 前因子中的修正项与 $k \epsilon / (4\hbar\omega_L) \cdot (\omega_R - \omega_L)/\omega_R$ 成比例，其中 $k \approx -0.11$，表明存在一个虽小但不可忽略的影响。
• 作用量积分 $\bar{I}(\bar{E})$ 的展开中包含了来自势能曲率的对数项和常数项修正，相较于标准WKB方法提高了精度。
• 在 $\hbar\omega \ll V_0$ 的系统中，$\tilde{\epsilon}/\hbar\omega$ 的一阶修正项被证明是显著的，尤其当 $\omega_L \ne \omega_R$ 时更不可忽略。