[论文解读] Turán number of disjoint triangles in 4-partite graphs

Jie Han, Yi Zhao|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文确定了在部分足够大的4-部图中，$k$个顶点不相交三角形的Turan数，证明最大边数由依赖于部分大小和$k$的函数$g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$给出。该结果是紧的，由两个显式构造实现，并通过逐步归纳和标准归纳扩展了此前关于多部图中Turan问题的研究。

ABSTRACT

Let $k\ge 2$ and $n_1\ge n_2\ge n_3\ge n_4$ be integers such that $n_4$ is sufficiently larger than $k$. We determine the maximum number of edges of a 4-partite graph with parts of sizes $n_1,\dots, n_4$ that does not contain $k$ vertex-disjoint triangles. For any $r> t\ge 3$, we give a conjecture on the maximum number of edges of an $r$-partite graph that does not contain $k$ vertex-disjoint cliques $K_t$.

研究动机与目标

• 解决当部分大小足够大时，4-部图中$k$个顶点不相交三角形的Turan问题。
• 确定在部分大小满足$n_1 \geq n_2 \geq n_3 \geq n_4 \geq 6k^2$的$kK_3$-自由4-部图中，最大边数。
• 扩展此前关于避免$kK_t$的极值$r$-部图的研究结果，并对一般$r > t \geq 3$提出一个猜想。
• 通过两种极值构造$G_1$和$G_2$建立紧致上界，并利用归纳法证明最优性。

提出的方法

• 在总顶点数上使用逐步归纳，在$k$上使用标准归纳，以定理1.1作为基础情况。
• 采用函数$g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$，其定义为根据$n_1 \leq n_2 + n_3$或$n_1 > n_2 + n_3$而取两个表达式的最大值。
• 通过考虑富边（即度数和较高的边）及其移除，分析边数和无三角形条件。
• 在移除顶点或边后对子图应用归纳法，依赖归纳假设，若存在$kK_3$则导出矛盾。
• 使用极值构造$G_1 = K_{V_1 \cup V_4, V_2 \cup V_3} \cup K_{Z, V_1}$和$G_2 = K_{V_1, V_2 \cup V_3 \cup V_4} \cup K_{Z, V_2 \cup V_3}$（其中$|Z| = k-1$）来证明紧致性。
• 利用度数和边数不等式，排除与$V_1$相交的三角形，或在$V_1 \times (V_2 \cup V_3 \cup V_4)$中包含富边的三角形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当所有$n_i$足够大时，$kK_3$-自由4-部图中最大边数是多少，其部分大小为$n_1 \geq n_2 \geq n_3 \geq n_4$？
• RQ2 对于$k \geq 1$，能否精确刻画极值数$\operatorname{ex}(K_{n_1,n_2,n_3,n_4}, kK_3)$？
• RQ3 极值构造$G_1$和$G_2$在边数和$kK_3$-自由性方面如何比较？
• RQ4 对于所有足够大的部分大小，$g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$的界是否都是紧的？
• RQ5 猜想1.4中的界能否推广到任意$r > t \geq 3$？

主要发现

• 当$n_4 \geq 6k^2$且$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 \geq N_0(k)$时，Turan数$\operatorname{ex}(K_{n_1,n_2,n_3,n_4}, kK_3)$的上界为$g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$。
• 界$g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$是紧的，因为$G_1$和$G_2$均达到此边数且为$kK_3$-自由。
• 构造$G_1$的边数为$e(G_1) = (n_1 + n_4)(n_2 + n_3) + (k-1)n_1$，$G_2$的边数为$e(G_2) = n_1(n_2 + n_3 + n_4) + (k-1)(n_2 + n_3)$。
• 当$n_1 \leq n_2 + n_3$时，$G_1$给出最大值；当$n_1 > n_2 + n_3$时，$G_2$给出最大值，且在$n_1 = n_2 + n_3$时取等。
• 证明使用了一种避免基础情况的逐步归纳法，通过假设存在$k-1$个不相交三角形并移除一条富边来导出矛盾。
• 值$N_0(k)$是$k$的双指数函数，满足$N_0(k) \leq (2N_0(2))^{2^{k-2}}$（当$k \geq 3$时），表明存在改进为多项式界的空间。