[论文解读] Turbulence in differentially rotating flows What can be learned from the Couette-Taylor experiment

Denis Richard, Jean-Paul Zahn|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 1999

Astro and Planetary Science被引用 58

一句话总结

本文提出，对吸积盘和恒星内部等天体物理系统具有相关性的分速度旋转流中的湍流角动量输运，可借助库埃特-泰勒实验的结果进行建模。通过分析温德特与泰勒在1930年代对角动量向外增加的流动所进行的实验，识别出临界梯度雷诺数 $ Re^{*}_{c} \lesssim 6 \times 10^5 $，该值与间隙宽度无关，并推导出与局部剪切相关的湍流粘性律 $ \nu_t = \beta Re^{*} \nu $，为标准 $ \alpha $-粘性模型提供了一种物理解释的替代方案。

ABSTRACT

The turbulent transport of angular momentum plays an important role in many astrophysical objects, but its modelization is still far from satisfactory. We discuss here what can be learned from laboratory experiments. We analyze the results obtained by Wendt (1933) and Taylor (1936) on the classical Couette-Taylor flow, in the case where angular momentum increases with distance from the rotation axis, which is the most interesting for astrophysical applications. We show that when the gap between the coaxial cylinders is wide enough, the criterion for the onset of the finite amplitude instability can be expressed in terms of a gradient Reynolds number. Based on Wendt's results, we argue that turbulence may be sustained by differential rotation when the angular velocity decreases outward, as in keplerian flows. From the rotation profiles and the torque measurements we deduce a prescription for the turbulent viscosity which is independent of gap width; with some caution it may be applied to stellar interiors and to accretion disks.

研究动机与目标

• 理解角动量向外增加的分速度旋转流中的湍流角动量输运，该情形与吸积盘和恒星内部密切相关。
• 确定实验室实验（特别是库埃特-泰勒流）是否能为天体物理系统中的有限振幅湍流提供可靠的建模基础。
• 推导一种湍流闭合模型——具体而言，一种与间隙宽度无关、适用于吸积盘等天体物理流的湍流粘性律。
• 检验从温德特数据中得出的 $ \nu_t \propto Re^{*} $ 标度律在中性与不稳定流动中的有效性。
• 评估所得粘性律在可压缩、三维流动（如吸积盘）中的适用性，确保涡旋尺度与速度保持物理解释的合理性。

提出的方法

• 分析温德特（1933）与泰勒（1936）关于外圆筒旋转、内圆筒静止的库埃特-泰勒流的历史实验数据，对应角动量向外增加的情形。
• 定义梯度雷诺数 $ Re^{*} = R^3 (\Delta\Omega / \Delta R) / \nu $，该参数捕捉局部剪切，并用于识别有限振幅不稳定性发生的临界点。
• 利用扭矩测量与速度分布数据推断有效湍流粘性 $ \nu_t $，假设 $ \nu_t \propto \beta Re^{*} \nu $，其中 $ \beta $ 为无量纲常数。
• 通过比较不同间隙宽度下的实验结果，检验临界 $ Re^{*}_{c} $ 与所得 $ \nu_t $ 是否受几何效应影响。
• 将 $ \nu_t \propto Re^{*} $ 标度律外推至天体物理情形，特别是开普勒盘，同时对涡旋尺度 $ \ell \approx \sqrt{\beta} R $ 与速度施加约束。
• 评估‘中性’流（既不稳定也不稳定）以确认角动量输运始终沿 $ \Omega $-梯度方向进行，从而支持所提定律的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 库埃特-泰勒实验能否为分速度旋转天体物理流中的湍流角动量输运提供可靠的实验基础？
• RQ2 角动量向外增加的分速度旋转流中有限振幅不稳定的临界阈值是多少？该值是否与间隙宽度无关？
• RQ3 此类流动中的湍流粘性是否与梯度雷诺数 $ Re^{*} $ 成比例？若是，其函数形式为何？
• RQ4 所提出的粘性律 $ \nu_t = \beta Re^{*} \nu $ 与标准 $ \alpha $-粘性模型相比，在物理解释一致性与吸积盘适用性方面有何差异？
• RQ5 涡旋尺度与速度对所推导粘性律在可压缩、三维流动（如吸积盘）中适用性的限制是什么？

主要发现

• 在分速度旋转的库埃特-泰勒流中，有限振幅不稳定的临界梯度雷诺数为 $ Re^{*}_{c} \lesssim 6 \times 10^5 $，且该值对宽间隙而言与间隙宽度无关。
• 湍流角动量输运始终沿角速度梯度方向进行，证实了开普勒型流中向外的输运。
• 湍流粘性遵循 $ \nu_t = \beta Re^{*} \nu $ 的比例关系，其中 $ \beta \approx 10^{-4} $，由温德特数据推导得出，且该比例关系与间隙宽度无关。
• 主导湍流涡旋的尺度估计为 $ \ell \approx \sqrt{\beta} R \approx \Delta R / 100 $，表明其远小于间隙宽度。
• 在低 $ Re $ 时，角动量输运的 $ \Omega^{3/2} $ 标度被高 $ Re $ 时的 $ \Omega^2 $ 标度取代，表明进入更强剪切驱动的湍流状态。
• 粘性律 $ \nu_t = \beta' r^2 \Omega $，其中 $ \beta' = \frac{3}{2}\beta $，与林登-贝尔与普林格尔（1974）提出的表达式等价，支持其在活动星系核吸积盘建模中的应用。