[论文解读] Tverberg partitions as epsilon-nets

Pablo Soberón|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2017

Topological and Geometric Data Analysis被引用 1

一句话总结

本文使用概率方法确定在 R^d 中的集合的 r-划分所需的最小数量，以保证在每个大小至少为 ε|X| 的子集上都存在至少一个 Tverberg 划分，通过将 Tverberg 划分视为组合覆盖问题的 ε-网，推广了具有容错性的 Tverberg 定理。

ABSTRACT

We prove a Tverberg-type theorem using the probabilistic method. Given $\varepsilon >0$, we find the smallest number of partitions of a set $X$ in $R^d$ into $r$ parts needed in order to induce at least one Tverberg partition on every subset of $X$ with at least $\varepsilon |X|$ elements. This generalizes known results about Tverberg's theorem with tolerance.

研究动机与目标

• 通过将 Tverberg 划分视为 ε-网，推广具有容错性的 Tverberg 定理。
• 确定在 R^d 中的点集的每个大小至少为 ε|X| 的大子集上，确保至少存在一个 Tverberg 划分所需的最小 r-划分数量。
• 应用概率技术解决离散几何中的覆盖问题，将 Tverberg 型结果与 ε-网理论联系起来。
• 建立 Tverberg 划分中的容错性与组合集合系统中 ε-网概念之间的定量联系。

提出的方法

• 采用概率方法分析有限集 X ⊂ R^d 的随机 r-划分。
• 将问题建模为覆盖问题，其中每个 r-划分必须通过 Tverberg 型交集覆盖所有大子集（≥ε|X|）。
• 将 Tverberg 划分定义为 r 个部分的凸包有公共点的划分，并旨在确保这一性质在每个大子集上都成立。
• 使用概率界来估计为实现对所有 ε-分数子集覆盖的高概率所需 r-划分的数量。
• 该框架在 Tverberg 划分与 ε-网之间建立类比，将每个划分视为大子集集合系统的候选网。
• 关键技术步骤涉及证明：若随机 r-划分的集合足够大，则以正概率确保每个大子集都存在一个 Tverberg 划分。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 R^d 中的集合的 r-划分中，需要多少个才能保证在每个大小至少为 ε|X| 的子集上都存在至少一个 Tverberg 划分？
• RQ2 如何系统性地使用 Tverberg 划分以类似于组合数学中 ε-网的方式覆盖大子集？
• RQ3 概率方法在多大程度上能为 Tverberg 型定理中的容错性提供构造性界？
• RQ4 ε-网的概念能否被推广，以将 Tverberg 划分作为几何覆盖的一种形式？
• RQ5 需要多少个 r-划分才能确保在所有大子集上实现鲁棒的 Tverberg 型覆盖？

主要发现

• 本文建立了确保在每个大小至少为 ε|X| 的子集上存在至少一个 Tverberg 划分所需的 r-划分数量的有限上界。
• 证明了通过概率方法存在这样的覆盖系统，表明随机 r-划分集合以正概率即足够。
• 该结果通过将容错性视为使用 Tverberg 划分作为 ε-网的覆盖问题，推广了具有容错性的 Tverberg 定理。
• 所需划分的数量在 1/ε 上为多项式，在 d 和 r 上为指数，反映了几何与组合结构的复杂性。
• 该框架通过将 Tverberg 型结果与 ε-网理论联系起来，为容错性提供了看待的新视角。
• 分析得出一个非构造性存在性结果，但该方法为未来算法构造提供了模板。