[论文解读] Twenty-Five Moves Suffice for Rubik's Cube

Tomas Rokicki|ArXiv.org|Mar 24, 2008

Manufacturing Process and Optimization参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文证明，通过结合对称性约化、优化的集合求解算法以及全面计算，任意打乱的3×3×3魔方均可在25步或更少步数内复原。作者将立方体空间划分为超过20亿个集合，并利用Kociemba算法结合并行变换，排除了需要超过25步的布局，从而将面转动度量下的上界从26步降低至25步。

ABSTRACT

How many moves does it take to solve Rubik's Cube? Positions are known that require 20 moves, and it has already been shown that there are no positions that require 27 or more moves; this is a surprisingly large gap. This paper describes a program that is able to find solutions of length 20 or less at a rate of more than 16 million positions a second. We use this program, along with some new ideas and incremental improvements in other techniques, to show that there is no position that requires 26 moves.

研究动机与目标

• 将3×3×3魔方任意位置复原所需步数的上界从26步降低至25步（面转动度量）
• 开发并应用一种优化的、高吞吐量的集合求解算法，可同时处理数百亿个魔方位置
• 利用对称性与群论约化方法，最小化计算搜索空间，同时保持完备性
• 通过系统性地证明所有相关魔方状态集合的界，表明没有任何位置需要超过25步

提出的方法

• 基于固定中间棱块的子群H，将魔方状态空间划分为约20亿个集合，每个集合包含200亿个位置
• 使用Kociemba两阶段算法的增强版本，同时求解每个位置的多个对称变换，以加速求解过程
• 将算法改造为“集合求解器”，一次性计算整个位置集合的距离上界，而非逐个处理单个位置
• 通过图传播消除冗余和邻近集合，并采用贪心选择策略，优先处理能最大程度降低最大距离估计的集合
• 采用混合方法，将集合求解器与简单贪心算法结合，以最小化总计算量并确保完全覆盖
• 该方法依赖于对称性约化，以及立方体群中每个位置均在有限步内可到达集合系统中某个代表元素的事实

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将任意魔方位置复原所需步数的上界降低至26步以下？
• RQ2 高性能的基于集合的算法能否高效地同时计算数百亿个魔方位置的距离上界？
• RQ3 对称性与群结构在多大程度上可被利用以降低求解上帝数字问题的计算复杂度？
• RQ4 能否通过算法优化与并行计算的结合，证明没有任何位置需要超过25步？

主要发现

• 本文证明，3×3×3魔方的任意位置均可在面转动度量下以25步或更少步数复原
• 作者识别并求解了3,868个魔方位置集合，其中3,226个集合的距离上界为20步或更少，621个集合的距离上界为19步或更少
• 通过组合21个已证明距离为18步的集合以及4个距离上界为19或20步的额外集合，作者确立所有位置均在27步内可达，该结果作为迈向最终25步上界的中间步骤
• 重现该证明所需的计算量估计约为1,500个CPU小时，使用现代CPU与优化求解器设置
• 作者认为，若对算法进行小幅扩展（特别是取消对中间棱块必须固定的限制），仅需再增加数月CPU计算时间，即可将上界进一步降低至24步
• 该方法通过消除冗余和邻近集合，成功大幅缩小了搜索空间，显著提升了计算效率