[论文解读] Twin-Width is Linear in the Poset Width

Jakub Balabán, Petr Hliněný|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2021

Advanced Graph Theory Research被引用 3

一句话总结

本文建立了双宽度与偏序集宽度之间的紧密线性关系，证明宽度为 $d$ 的偏序集其双宽度至多为 $9d - 6$，且该界在渐近意义下是紧的。作者提供了一种直接、构造性的算法，用于计算达到该界的收缩序列，相较于先前工作的双指数界有所改进，并表明即使宽度为 2 的偏序集，其双宽度也至多为 2，且该界是最优的。

ABSTRACT

Twin-width is a new parameter informally measuring how diverse are the neighbourhoods of the graph vertices, and it extends also to other binary relational structures, e.g. to digraphs and posets. It was introduced just very recently, in 2020 by Bonnet, Kim, Thomasse and Watrigant. One of the core results of these authors is that FO model checking on graph classes of bounded twin-width is in FPT. With that result, they also claimed that posets of bounded width have bounded twin-width, thus capturing prior result on FO model checking of posets of bounded width in FPT. However, their translation from poset width to twin-width was indirect and giving only a very loose double-exponential bound. We prove that posets of width d have twin-width at most 9d with a direct and elegant argument, and show that this bound is asymptotically tight. Specially, for posets of width 2 we prove that in the worst case their twin-width is also equal 2. These two theoretical results are complemented with straightforward algorithms to construct the respective contraction sequence for a given poset.

研究动机与目标

• 弥合先前工作所得的间接、松散上界 $2^{2^{O(d)}}$ 与宽度 $d$ 的偏序集真实双宽度之间的差距。
• 提供一种直接、构造性的证明，表明宽度为 $d$ 的偏序集其双宽度至多为 $9d - 6$，优于以往结果。
• 通过证明宽度为 $d$ 的偏序集在最坏情况下的双宽度下界为 $d - 1$，表明该界在渐近意义下是紧的。
• 设计高效、简洁的算法，用于计算达到所述双宽度界之收缩序列。
• 证明对于宽度为 2 的偏序集，其双宽度在最坏情况下恰好为 2，且该界是紧的。

提出的方法

• 作者提出一种基于偏序集哈斯图中杆路径的新收缩策略，其中每根杆代表一对可比元素。
• 定义一种红色边系统，用于在顶点收缩过程中追踪邻域中的不一致，确保红色度始终有界。
• 设计一种构造性算法，通过链式表示法迭代识别并收缩顶点对，同时维护数据结构以实现高效更新。
• 该方法使用一种特殊表示方式，为每个元素存储其小于的最小元素，从而实现每次收缩的常数时间更新。
• 该方法确保每步收缩要么延长一条杆路径，要么减少偏序集的大小，从而保证终止性。
• 分析基于对偏序集中后继存在性与可比性的分情况推理，证明红色边度的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 以宽度 $d$ 表示的偏序集，其双宽度的最紧上界是什么？
• RQ2 能否用更紧的直接构造性证明，替代先前工作所得的间接双指数界？
• RQ3 宽度为 2 的偏序集的双宽度是否被 2 所限制，且该界是否紧？
• RQ4 能否设计一种简单、高效的算法，用于计算达到最优双宽度界之收缩序列？
• RQ5 偏序集宽度与双宽度之间的线性关系是否在渐近意义下是紧的？

主要发现

• 宽度为 $d$ 的偏序集其双宽度至多为 $9d - 6$，相比先前的双指数界有显著改进。
• 该界在渐近意义下是紧的，因为宽度为 $d$ 的偏序集在最坏情况下的双宽度至少为 $d - 1$，表明线性依赖关系不可避免。
• 对于宽度为 2 的偏序集，其双宽度至多为 2，且该界是紧的，通过一个自然双宽度恰好为 2 的具体例子得以证明。
• 本文提供了一种构造性算法，可在与元素数量成线性时间内计算收缩序列。
• 该算法维护一种特殊数据结构，使得每次收缩的更新时间恒为常数，从而实现高效计算。
• 作者通过穷举式计算机验证确认了宽度为 2 的结果的紧性，证实该例子中每步收缩的红色度均至少为 2。