[论文解读] Twisted cyclic theory and an index theory for the gauge invariant KMS state on Cuntz algebras

Alan L. Carey, Jessica Phillips+1 more|ArXiv.org|Jan 30, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用 13

一句话总结

该论文基于规范不变KMS态的模自同构群构造的扭曲循环上循环，为Cuntz代数发展了一套新颖的指标理论。通过引入修正的$K_1$-群与谱流公式，建立了不依赖迹的配对，并与Araki的相对熵相联系，为III型非交换流形提供了理论框架。

ABSTRACT

This paper presents, by example, an index theory appropriate to algebras without trace. Whilst we work exclusively with the Cuntz algebras the exposition is designed to indicate how to develop a general theory. Our main result is an index theorem (formulated in terms of spectral flow) using a twisted cyclic cocycle where the twisting comes from the modular automorphism group for the canonical gauge action on the Cuntz algebra. We introduce a modified $K_1$-group of the Cuntz algebra so as to pair with this twisted cocycle. As a corollary we obtain a noncommutative geometry interpretation for Araki's notion of relative entropy in this example. We also note the connection of this example to the theory of noncommutative manifolds.

研究动机与目标

• 将指标理论推广至无迹的C*-代数，以Cuntz代数作为原型。
• 在无迹条件下，通过KMS态与谱流定义非平凡的指标配对。
• 引入一个修正的$K_1$-群，使其与源自模自同构群的扭曲余循环配对。
• 以谱流与非交换几何的观点重新解释Araki的相对熵。
• 证明模谱三元组满足Connes非交换流形公理的扭曲版本。

提出的方法

• 利用规范作用的典范作用及其关联的模自同构群，在Cuntz代数上构造模谱三元组。
• 通过半有限余项构造，定义一个适应于KMS态而非迹的扭曲循环上循环。
• 引入一个新的半群，称为“模$K_1$”，以替代普通$K_1$，用于与扭曲上循环配对。
• 推导出一个谱流公式，使用KMS-Dixmier泛函替代标准Dixmier迹来计算指标配对。
• 利用映射锥代数构造，将指标配对与KK-理论关联，并扩展Kasparov模框架。
• 验证模谱三元组满足Connes公理的扭曲版本，包括通过扭曲Hochschild循环实现的可定向性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将指标理论推广至如Cuntz代数这类缺乏非平凡迹的C*-代数？
• RQ2 模自同构群在构造非迹依赖的指标配对中起什么作用？
• RQ3 在KMS态背景下，谱流如何与Araki的相对熵概念相关联？
• RQ4 模谱三元组能否满足Connes非交换流形公理的扭曲版本？
• RQ5 新指标不变量与现有的$KK$-理论或半有限指标理论之间存在何种关系？

主要发现

• 从$\mathcal{D}$到$u\mathcal{D}u^*$的谱流等于$\frac{1}{\log n} S(\psi_u, \psi)$，表明相对熵与谱流成正比。
• 相对熵$S(\psi_u, \psi)$由$-(\log n) \cdot \psi(u[\mathcal{D}, u^*])$给出，明确将其与扭曲指标配对联系起来。
• 扭曲Hochschild循环$c = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n S_j^* \otimes S_j$满足扭曲可定向性条件，并在$\mathcal{H}$上表示单位元。
• 模谱三元组满足非交换流形的所有公理，仅标准可和性被替换为$\mathcal{L}^{(1,\infty)}$可和性。
• $K_1$-值指标配对通过谱流公式计算，其不变量属于修正的$K_1$-群而非普通$K_1$。
• 公式$\lim_{s\to 1^+} (s-1) \widehat{\tau}(\Psi(a)(1+\mathcal{D}^2)^{-s/2}) = 2\psi(a) > 0$在模设定下确认了一种类可和性。