[论文解读] Twisted modules for N=2 supersymmetric vertex operator superalgebras arising from finite automorphisms of the N=2 Neveu-Schwarz algebra

Katrina Barron|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 44被引用 5

一句话总结

本文对由 N=2 Neveu-Schwarz 代数的有限自同构提升而来的 N=2 超对称顶点算子超代数（VOSAs）的扭模进行了分类，包括 Ramond 和镜像扭扇区。通过谱流自同构，本文为自由和格点 N=2 VOSAs 显式构造了这些模，并表明镜像映射提升是非唯一的，导致镜像扭模的范畴非同构。

ABSTRACT

Twisted modules for N=2 supersymmetric vertex operator superalgebras are classified for the vertex operator superalgebra automorphisms which are lifts of a finite automorphism of the N=2 Neveu-Schwarz Lie superalgebra representation. These include the Ramond-twisted sectors and mirror-twisted sectors for N=2 vertex operator superalgebras, as well as twisted modules related to more general "spectral flow" representations of the N=2 Neveu-Schwarz algebra. We present the construct of twisted modules for free N=2 vertex operator superalgebras for all of the N=2 Neveu-Schwarz Lie superalgebra automorphisms of finite order. We show how to extend these to lattice N=2 vertex operator superalgebras. As a consequence, we also construct the Ramond-twisted sectors for free and lattice N=1 supersymmetric vertex operator superalgebras. We show that the lifting of the mirror automorphism for the N=2 Neveu-Schwarz algebra to an N=2 vertex operator superalgebra is not unique and that different mirror map vertex operator superalgebra automorphisms of an N=2 vertex operator superalgebra can lead to non-isomorphic categories of mirror-twisted modules, as in the case of free and lattice N=2 vertex operator superalgebras.

研究动机与目标

• 对由 N=2 Neveu-Schwarz 代数的有限阶自同构提升而来的 N=2 超对称顶点算子超代数（VOSAs）的扭模进行分类。
• 为自由和格点 N=2 VOSAs 显式构造扭模，特别关注 Ramond 和镜像扭扇区。
• 研究镜像自同构提升为 VOSA 自同构时的非唯一性及其对模范畴结构的影响。
• 将自由费米子和玻色子构造方法推广至格点 N=1 和 N=2 VOSAs，并分析其扭模结构。
• 以 N=2 超共形代数的表示形式完整刻画扭模，并计算其分次维数。

提出的方法

• 通过 N=2 Neveu-Schwarz 代数的谱流自同构 $\sigma_{\xi}$（其中 $\xi$ 为单位根）构造自由 N=2 VOSAs 的 $\sigma_{\xi}$-扭模。
• 利用 Li (2002) 提出的顶点算子超代数技术，通过扭顶点算子 $Y^{\sigma_{\xi}}(a,x)$ 定义扭模，其满足广义交换关系。
• 应用 $\sigma_{\xi}$-扭真空模构造方法，从具有分数模式位移的 Heisenberg 和费米子生成元导出的费米子 Fock 空间 $M_{\sigma_{\xi}}$。
• 通过张量积结合自由玻色子和费米子 VOSAs，构造 $V_{\text{bos}} \otimes V_{\text{bos}} \otimes M_{\sigma_{\xi}}$ 作为完整 N=2 VOSA 的 $\sigma_{\xi}$-扭模。
• 通过与正定偶格 $L$ 的 $V_L \otimes V_L$ 张量积，将构造方法扩展至格点 N=2 VOSAs，保持扭模结构不变。
• 利用对移位模式的乘积和 Dedekind eta 函数 $\eta(q)$ 分析扭模的 $p,q$-分次维数，给出 $\mathrm{dim}_{p,q}$ 的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 N=2 Neveu-Schwarz 代数的有限自同构可提升为给定 N=2 VOSA 的自同构？
• RQ2 当 $g$ 是 $\sigma_{\xi}$ 或镜像映射 $\kappa$ 的提升时，$g$-扭 $V$-模如何作为 N=2 超共形代数的表示进行分解？
• RQ3 N=2 Neveu-Schwarz 代数的镜像自同构 $\kappa$ 到 N=2 VOSA 自同构的提升是否唯一？其对镜像扭模范畴有何影响？
• RQ4 能否将 $\sigma_{\xi}$-扭模的构造从自由情形推广至格点 N=2 VOSAs？在格点情形下，$p,q$-维数如何变化？
• RQ5 自由和格点 N=1 与 N=2 VOSAs 的 Ramond-扭扇区的结构是怎样的？它们与 $\sigma$-扭模有何关系？

主要发现

• 自由 N=2 VOSAs 的 $\sigma_{\xi}$-扭模 $M_{\sigma_{\xi}}$ 在同构意义下唯一确定，其分次维数为 $\mathrm{dim}_q M_{\sigma_{\xi}} = q^{-d/24 + j^2d/2k^2} \prod_{r \in \mathbb{Z}+1/2 \mp j/k, r>0} (1+q^r)^d$。
• 自由 N=2 VOSA 的 $\sigma_{\xi}$-扭模 $V_{\text{bos}} \otimes V_{\text{bos}} \otimes M_{\sigma_{\xi}}$ 的 $p,q$-维数为 $q^{-d/24 + j^2d/2k^2} \eta(q)^{-2d} \prod_{r \in \mathbb{Z}+1/2 - j/k, r>0} (1+p^{-1}q^r)^d \prod_{r \in \mathbb{Z}+1/2 + j/k, r>0} (1+pq^r)^d$。
• 对于格点 N=2 VOSAs，$\sigma_{\xi}$-扭模的 $p,q$-维数为自由情形结果乘以 $\Theta(L)^2$，其中 $\Theta(L)$ 为格 $L$ 的 theta 系数。
• N=2 Neveu-Schwarz 代数的镜像自同构 $\kappa$ 不能唯一提升为 N=2 VOSA 自同构，导致镜像扭模的范畴非同构。
• 自由和格点 N=1 与 N=2 VOSAs 的 Ramond-扭扇区被构造为 $\sigma$-扭模，其中 $L^\sigma(0)$ 和 $J^\sigma(0)$ 作为谱流算子作用。
• 对于整数格（不一定是偶格），当 $\sigma_{\xi}$ 在 $V_L$ 的奇部上非平凡作用时，尚未构造出 $\sigma_{\xi}$-扭模，这在一般格情形下留下了空白。