[论文解读] Two algebraic proofs of the transcendence of $\mathrm{e}$ based on formal power series

Martin Klazar|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2026

Holomorphic and Operator Theory被引用 0

一句话总结

本文给出两种代数半形式证明，利用形式幂级数来建立 e 的超越性：一种是 Beukers–Bézivin–Robba 的 Lindemann–Weierstrass 方法的特例，另一种是作者给出的一种半正式积分证明。

ABSTRACT

We remind the classical analytical proof of the transcendence of $\mathrm{e}$ due to Hilbert. Using formal power series, we then give two algebraic proofs of this result. The first proof is a specialization of the proof of Beukers, Bézivin and Robba of the Lindemann-Weierstrass theorem. The second proof uses improper integrals of formal power series and is due to this author. We explain in what respect both proofs improve upon Hilbert's proof.

研究动机与目标

• 为 e 的超越性建立代数-分析混合的 AB 证明框架提供动机与理由。
• 将 Lindemann–Weierstrass 风格的证明转化为半正式的形式幂级数设定。
• 基于形式幂级数提供两种截然不同的半正式证明以证实 e 的超越性。

提出的方法

• 将 Beukers、Bézivin 与 Robba 的方法专用于整数系数以导出 e 的超越性。
• 使用有理形式幂级数和极点阶分析，通过 Euler 型积分迫使矛盾。
• Develop a semiformal integration framework that mirrors Hilbert’s original strategy using formal Newton integrals.
• Introduce shifts and Newton-type integrals on real formal power series and prove key identities (Euler’s identity in semiformal form).
• Show that certain constructed series are rational and derive a contradiction when assuming linear dependence involving e.

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能通过代数方法（相对于分析方法）使用形式幂级数来证明 e 的超越性？
• RQ2 Lindemann–Weierstrass 型的论证是否存在一个含整数数据的半正式 AB 证明用于 e？
• RQ3 能否将 Hilbert 的原始积分策略重新表述在一个使用形式幂级数的半正式 AB 证明框架中？
• RQ4 在假设涉及 e 的幂的代数相关性时，哪些辅助结构（如 Newton 积分和移位）足以得到矛盾？

主要发现

• Beukers–Bézivin–Robba 的一个半正式专化得到基于整数数据的 e 超越性证明。
• 第二个 AB & SF 证明使用形式幂级数的不定积分来模仿 Hilbert 策略并导出矛盾。
• 两种证明都依赖于形式泛函和对实/复数幂级数的半正式运算，在受控范围内避免对完全形式化的数值的依赖。
• Euler 积分恒等在半正式设定下被确立，成为超越性论证的关键组成部分。
• 该框架区分用于证明超越性的 AB 证明（可数使用集）与 SF 证明（允许极限运算）。
• 这两种证明展示了在半正式 AB+SF 范式下的不同路径，以确立 e 的超越性。