[论文解读] Two-dimensional Artin groups with CAT(0) dimension three

Noel Brady, John Crisp|ArXiv.org|Dec 13, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文构建了具有几何维数2但CAT(0)维数3的3-生成元Artin群，证明CAT(0)维数可严格大于几何维数。通过拓扑与几何群论技术，作者证明了某些具有奇数关系器的Artin群（例如，当奇数m,n ≥ 3时的A(m,n,2)）无法在2维CAT(0)复形上实现真正离散的行动，但它们可赋予3维非正曲率的分片欧几里得结构，从而确立了几何维数与CAT(0)维数之间的有限差距。

ABSTRACT

We exhibit 3-generator Artin groups which have finite 2-dimensional Eilenberg-Mac Lane spaces, but which do not act properly discontinuously by semi-simple isometries on a 2-dimensional CAT(0) complex. We prove that infinitely many of these groups are the fundamental groups of compact, non-positively curved 3-complexes. These examples show that the geometric dimension of a CAT(0) group may be strictly less than its CAT(0) dimension.

研究动机与目标

• 研究Artin群中几何维数与CAT(0)维数之间的关系。
• 确定某些3-生成元Artin群是否可在2维CAT(0)复形上实现真正离散的行动。
• 为类型A(m,n,2)的Artin群构造显式的3维CAT(0)结构。
• 证明CAT(0)维数可严格大于几何维数。

提出的方法

• 作者利用极小集性质与平移长度的特性，分析Artin群在CAT(0)空间上的作用。
• 应用CAT(0)几何中的结果，包括平面环定理与覆盖维数理论。
• 利用分片欧几里得结构，为Artin群A(m,n,2)构造3维K(G,1)复形。
• 借助先前关于Eilenberg-Mac Lane空间与Rips复形的研究成果，确立几何维数为2。
• 分析奇数Artin关系器的结构，以揭示对2维行动的障碍。
• 运用Kleiner的维数理论与覆盖维数，强化对CAT(0)行动的拓扑约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有几何维数2的3-生成元Artin群是否可能具有大于2的CAT(0)维数？
• RQ2 对于奇数m,n ≥ 3的A(m,n,2)型Artin群，是否可实现真正离散的行动于2维CAT(0)复形上？
• RQ3 A(m,n,2)在何种最小维数的CAT(0)空间上可实现真正离散的半纯等距作用？
• RQ4 是否可为几乎所有A(m,n,2)群构造3维CAT(0)结构？
• RQ5 在无挠群中，几何维数与CAT(0)维数之间是否存在有限差距？

主要发现

• 当奇数m,n ≥ 3时，Artin群A(m,n,2)的几何维数为2，但无法通过半纯等距在任何2维CAT(0)复形上实现真正离散的行动。
• 几乎所有A(m,n,2)型Artin群均为紧致、非正曲率的3维分片欧几里得复形的基本群。
• A(m,n,p)的几何维数为2当且仅当1/m + 1/n + 1/p ≤ 1，该条件对无穷多个奇数m,n ≥ 3的A(m,n,2)群成立。
• 无穷多个3-生成元Artin群具有有限几何维数2，但CAT(0)维数为3，从而确立了严格差距。
• 非行动结果的证明即使在仅限于任意CAT(0)空间（而非CW复形）时依然成立，原因在于覆盖维数与Kleiner的维数理论。
• CAT(0)维数在直积下并非可加，除非施加额外假设（如无中心群），但通过与ℤⁿ的积仍可构造出有限差距。