[论文解读] Two dimensional KP systems and their solvability

Alexander Zheglov|ArXiv.org|Mar 28, 2005

Nonlinear Waves and Solitons被引用 9

一句话总结

本文引入广义二维KP层级，记为$(KP)_\alpha$，作为两个变量中一对可交换$\alpha$-微分算子的同谱形变通用族的主方程。证明了其对所有初值条件的唯一可解性，并建立了与高维几何数据上同谱流的联系，将经典KP理论推广至多维设置。

ABSTRACT

In this paper we introduce new various generalizations of the classical Kadomtsev-Petviashvili hierarchy in the case of operators in several variables. These generalizations are the candidates for systems that should play the role, analogous to the role of the KP hierarchy in the classical KP theory, in a generalized KP theory. In particular, they should describe flows of some generalized geometric datas, including those described by A.N.Parshin, for certain initial conditions. The unique solvability of the initial value problem for the generalized KP hierarchies is established. The connection of these systems with universal families of isospectral deformations of certain pairs of commuting differential operators is opened. To prove the solvability of the systems we generalize several results from the works of M.Mulase and A.N.Parshin.

研究动机与目标

• 将经典KP层级推广至多变量的二维伪微分算子系统。
• 为两个变量中一对可交换微分算子的同谱形变通用族建立主方程。
• 解决关于Parshin广义KP系统可解性与几何解释的开放问题。
• 在弱于先前研究的假设下，定义并研究$\alpha$-微分算子及其相关层级$(KP)_\alpha$。
• 通过这些广义层级，将Krichever对应关系与$\tau$-函数形式化推广至高维几何数据。

提出的方法

• 将经典Lax形式化推广至环$A$上的二维伪微分算子，包括$k[[x_1,x_2]]$与$k((x_1))((x_2))[\log x_1, \log x_2]$。
• 通过函数$\alpha: \mathbb{Z}_+ \to \mathbb{R}$定义$\alpha$-微分算子为伪微分算子子空间$D_R^{\alpha,W,L_{00},M_{00}}$中的元素，满足阶数约束。
• 引入系统$(KP)_\alpha$作为控制此类$\alpha$-微分算子同谱形变的主方程。
• 证明$(KP)_\alpha$在时间依赖伪微分算子环中对所有初值条件具有唯一可解性。
• 利用Sato-Wilson型系统与同谱形变通用族理论推导演化方程。
• 通过可逆算子$S(t)$的共轭关系，建立层级与可交换对的规范型之间的联系，确保结构保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典KP层级能否推广至多变量中一对可交换微分算子的二维系统？
• RQ2 广义Parshin系统是否具有非平凡解，抑或仅是一个更大主方程的子系统？
• RQ3 能否为两个变量中一对可交换$\alpha$-微分算子构造同谱形变的通用族？
• RQ4 阶函数$\alpha$需满足何种条件，才能保证所得广义KP层级的唯一可解性？
• RQ5 这些广义层级如何与高维几何中的Krichever对应关系及$\tau$-函数相关联？

主要发现

• 对于任意函数$\alpha: \mathbb{Z}_+ \to \mathbb{R}$满足$\alpha(0) \leq 0$，系统$(KP)_\alpha$在时间依赖伪微分算子环中对所有初值条件具有唯一可解性。
• 经典KP层级对应于$\alpha = 0$的情形，而所有同谱形变的主方程对应于$\alpha = \infty$的情形。
• 原始Parshin系统仅有平凡解，表明其无法作为通用主方程，但其子系统$(KP)_\alpha$可以。
• $(KP)_\alpha$层级作为满足引理10条件的$\alpha$-微分算子同谱形变通用族的主方程。
• 修正Sato-Wilson系统的解$S(t)$确保$P(t) = S(t)NP(0)S(t)^{-1}$，保持规范型并确认同谱性。
• 当$\alpha$为线性函数且$W=1$时，空间$D_R^{\alpha,W,L_{00},M_{00}}$获得自然环结构，使层级中的一致代数运算成为可能。