[论文解读] Two-dimensional ruin probability for subexponential claim size

Sergey Foss, Dmitry Korshunov+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2017

Probability and Risk Models参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文在具有亚指数索赔规模的保险风险模型中，建立了两个保险公司按比例分担索赔与保费时，二维 ruin 概率的统一渐近近似。利用更新理论及长尾与亚指数分布的性质，在无需多变量正则变异性假设的一般条件下，推导出初始资本充足时联合与边际 ruin 概率的精确渐近表达式。

ABSTRACT

We analyse the asymptotics of ruin probabilities of two insurance companies (or two branches of the same company) that divide between them both claims and premia in some specified proportions when the initial reserves of both companies tend to infinity and generic claim size is subexponential.

研究动机与目标

• 分析具有亚指数索赔规模的二维风险模型中 ruin 概率的渐近行为。
• 将现有结果从多变量正则变异性扩展至更广泛的亚指数分布类，包括帕累托、对数正态与威布尔分布。
• 推导当初始资本趋于无穷时，联合（两公司均 ruin）与边际（至少一公司 ruin） ruin 概率的统一渐近近似。
• 通过将二维分析推广至 n 维，为多个保险公司提供通用框架。
• 解决一个开放问题：当时间范围由固定时间变为停止时间时，类似渐近性是否仍成立。

提出的方法

• 模型被表述为具有更新输入的二维风险过程，其中索赔与保费在两公司间按比例分配。
• 分析基于强亚指数分布类，该类包括正则变化与长尾分布，避免了对多变量正则变异性假设的依赖。
• 关键工具包括更新理论、更新过程的大数定律，以及涉及尾概率的积分的渐近等价性。
• 作者通过变换将二维问题简化为具有时变边界的一维风险过程，从而可应用关于首通过时间的已知结果。
• 利用 Jensen 不等式与凹性论证，推导出尾概率积分期望的界。
• 证明技术借助长尾性与亚指数性，以证明离散与连续积分近似之间的渐近等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当两家保险公司的初始资本趋于无穷且索赔规模为亚指数分布时，至少一家公司发生 ruin 的概率的渐近行为如何？
• RQ2 在相同条件下，联合 ruin 概率（两公司同时 ruin）的渐近行为如何？
• RQ3 该渐近近似能否从固定时间范围推广至更新过程中的停止时间？
• RQ4 该结果是否对由更新过程生成的过滤流中的所有停止时间都保持一致？
• RQ5 二维分析能否推广至多于两家保险公司的模型？

主要发现

• 边际 ruin 概率（即至少一家公司 ruin 的概率）渐近等价于尾分布函数在时间上的积分期望，权重为两资本过程的最小值。
• 联合 ruin 概率（即两公司同时 ruin 的概率）渐近等价于尾分布函数在时间上的积分期望，权重为两资本过程的最大值。
• 渐近近似对所有趋于无穷的初始资本均一致成立，且适用于一般强亚指数分布，无需多变量正则变异性假设。
• 通过推广一维约化方法并使用分段线性边界，将结果扩展至 n 家保险公司。
• 本文通过长尾性与更新理论，严格证明了离散与连续积分形式之间的渐近等价性。
• 提出一个开放猜想：当时间范围被停止时间取代时，相同的渐近形式依然成立，表明该近似在固定时间范围之外也具有鲁棒性。