[论文解读] Two New Zeta Constants: Fractal String, Continued Fraction, and Hypergeometric Aspects of the Riemann Zeta Function

Stephen Crowley|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 25被引用 3

一句话总结

本论文通过超几何表示和黎曼ζ函数的解析延拓，推导出两个新的ζ常数：ζ^F(0) = I₀(2) − 1 和 ζ^F(1) = Ei(1) − γ。这些值从概率角度解释后，分别对应于互质整数对与三元组的倒概率为78.15%和75.88%，与标准ζ值不同，并通过高斯映射和新引入的“调和锯齿映射”将ζ函数与分形弦及混沌动力系统联系起来。

ABSTRACT

The Riemann zeta function at integer arguments can be written as an infinite sum of certain hypergeometric functions and more generally the same can be done with polylogarithms, for which several zeta functions are a special case. An analytic continuation formula for these hypergeometric functions exists and is used to derive some infinite sums which allow the zeta function at integer arguments n to be written as a weighted infinite sum of hypergeometric functions at n - 1. The form might be considered to be a shift operator for the Riemann zeta function which leads to the curious values ζF(0) = I_0(2) - 1 and ζF(1) = Ei(1) - γ which involve a Bessel function of the first kind and an exponential integral respectively and differ from the values ζ(0) = -1/2 and ζ(1) = \infty given by the usual method of continuation. Interpreting these "hypergeometrically continued" values of the zeta constants in terms of reciprocal common factor probability we have ζF(0)^-1 \sim 78.15% and ζF(1)^-1 \sim 75.88% which contrasts with the standard known values for sensible cases like ζ(2)^-1 \sim 60.79% and ζ(3)^-1 \sim 83.19%. The combinatorial definitions of the Stirling numbers of the second kind, and the 2-restricted Stirling numbers of the second kind are recalled because they appear in the differential equatlon satisfied by the hypergeometric representation of the polylogarithm. The notion of fractal strings is related to the (chaotic) Gauss map of the unit interval which arises in the study of continued fractions, and another chaotic map is also introduced called the "Harmonic sawtooth" whose Mellin transform is the (appropritately scaled) Riemann zeta function. These maps are within the family of what might be called "deterministic chaos". Some number theoretic definitions are also recalled.

研究动机与目标

• 利用广义超几何函数，发展黎曼ζ函数在整数阶的超几何表示。
• 通过连续超几何函数定义并分析ζ函数的新解析延拓，得到s = 0和s = 1处的替代值。
• 从概率角度解释新的ζ常数，将其视为互质整数元组的倒概率，与标准ζ值形成对比。
• 通过梅林变换将ζ函数与动力系统（特别是高斯映射和新引入的“调和锯齿映射”）联系起来。
• 探索ζ函数、多对数函数、斯特林数以及贝塞尔函数和指数积分等特殊函数之间的联系。

提出的方法

• 利用解析延拓技术，将整数n处的黎曼ζ函数表示为形式为 _{n+1}F_n 的超几何函数的加权无穷级数之和。
• 应用广义超几何函数的连续函数关系，从ζ^F(n−1)推导出ζ^F(n)的递推关系。
• 利用超几何多对数函数 Li_n^F(t) 所满足的微分方程，实现在单位参数附近的解析延拓。
• 引入“调和锯齿映射”w(x)，其梅林变换与黎曼ζ函数成正比，从而将ζ函数与确定性混沌联系起来。
• 依赖弗罗贝尼乌斯-佩龙转移算子和分段积分方法，分析高斯映射及其与连分数的关系。
• 采用广义Hurwitz ζ函数和Lerch超越函数作为基础工具，统一ζ函数、多对数函数和超几何表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼ζ函数在整数阶是否可表示为超几何函数的无穷级数？若可，其函数形式为何？
• RQ2 通过超几何方法进行解析延拓后，ζ函数在s = 0和s = 1处的值是什么？与标准值有何不同？
• RQ3 新的ζ常数ζ^F(0)和ζ^F(1)如何与互质整数元组的概率相关联？这些概率具有何种意义？
• RQ4 哪些动力系统（如高斯映射或调和锯齿映射）与黎曼ζ函数的梅林变换相关联？
• RQ5 组合结构如第二类斯特林数及受限斯特林数如何在超几何多对数函数的微分方程中出现？

主要发现

• 超几何延拓得到ζ^F(0) = I₀(2) − 1，其中I₀(2)为第一类修正贝塞尔函数，与标准ζ(0) = −1/2不同。
• ζ^F(1) = Ei(1) − γ，涉及指数积分和欧拉-马歇罗尼常数，与标准ζ(1) = ∞形成对比。
• ζ^F(0)的倒数约为78.15%，解释为在该新延拓下，随机选取的两个整数互质的概率。
• ζ^F(1)的倒数约为75.88%，表示在超几何延拓下，三元组互质的概率。
• 引入调和锯齿映射w(x)，其梅林变换与黎曼ζ函数成正比，从而将ζ函数与确定性混沌联系起来。
• 证明了超几何多对数函数Li_n^F(t)的微分方程涉及第二类斯特林数及其2-受限变体，建立了其组合基础。