[论文解读] Typicality of normal numbers with respect to the Cantor series expansion

Bill Mance|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文证明了对于极限无穷且完全发散的基本序列 $ Q $，几乎每个 $[0,1)$ 中的实数都是 $ Q $-正规的，且对块频率给出了精确的渐近界。论文引入了强 $ Q $-正规性，证明其在非恒定 $ Q $ 情况下严格强于 $ Q $-正规性，并表明即使 $ Q $-正规数可能为空，$ Q $-比值正规数在 $[0,1)$ 中仍是稠密的。

ABSTRACT

Fix a sequence of integers $Q=\{q_n\}_{n=1}^\infty$ such that $q_n$ is greater than or equal to 2 for all $n$. In this paper, we improve upon results by J. Galambos and F. Schweiger showing that almost every (in the sense of Lebesgue measure) real number in $[0,1)$ is $Q$-normal with respect to the $Q$-Cantor series expansion for sequences $Q$ that satisfy a certain condition. We also provide asymptotics describing the number of occurrences of blocks of digits in the $Q$-Cantor series expansion of a typical number. The notion of strong $Q$-normality, that satisfies a similar typicality result, is introduced. Both of these notions are equivalent for the $b$-ary expansion, but strong normality is stronger than normality for the Cantor series expansion. In order to show this, we provide an explicit construction of a sequence $Q$ and a real number that is $Q$-normal, but not strongly $Q$-normal. We use the results in this paper to show that under a mild condition on the sequence $Q$, a set satisfying a weaker notion of normality, studied by A. Rényi in \cite{Renyi}, will be dense in $[0,1)$.

研究动机与目标

• 将经典的正规数理论扩展到广义的 $ Q $-Cantor 级数展开框架。
• 确定在何种 $ Q $ 条件下，几乎每个 $ x \in [0,1) $ 都是 $ Q $-正规的。
• 引入并分析强 $ Q $-正规性的概念，将其与标准 $ Q $-正规性区分开来。
• 研究当 $ Q $-正规数可能不存在时，$ Q $-比值正规数在 $[0,1)$ 中的稠密性。
• 为典型实数的 $ Q $-Cantor 级数展开中块出现次数提供精确的渐近估计。

提出的方法

• 使用概率方法和 Borel-Cantelli 型论证，分析 $ Q $-Cantor 级数展开中的数字块频率。
• 应用无穷乘积收敛准则（引理 4.10），证明若 $ Q $ 是 $ k $-收敛的，则 $ Q $-正规数的集合测度为零。
• 将块计数 $ N_n^Q(B,x) $ 分解为 $ k $ 个子块计数 $ N_{n,p}(B,x) $，每个均通过集中不等式分析。
• 利用引理 4.8 和 4.5，推导出典型 $ x $ 的渐近界形式 $ N_n^Q(B,x) = Q_n^{(k)} + O\left(\sqrt{Q_n^{(k)}} \log\log Q_n^{(k)}\right)^{1/2} \right) $。
• 通过选择满足 $ q_n \to \infty $ 但增长不规则的 $ q_n $，构造一个 $ Q $-正规但非强 $ Q $-正规的数。
• 通过利用完全发散的 $ Q' $-正规数的极限构造，证明当 $ Q $ 为极限无穷时 $ Q $-比值正规数的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $ Q $ 条件下，$[0,1)$ 中 $ Q $-正规数的集合具有全勒贝格测度？
• RQ2 强 $ Q $-正规性与标准 $ Q $-正规性有何不同，何时其严格更强？
• RQ3 当 $ Q $-正规数不存在时，$ Q $-比值正规数是否仍可存在且在 $[0,1)$ 中稠密？
• RQ4 何种精确的渐近行为刻画了典型实数在 $ Q $-Cantor 级数展开中块出现频率的特征？
• RQ5 是否存在一种构造性方法，可为非恒定 $ Q $ 构造出一个 $ Q $-正规但非强 $ Q $-正规的数？

主要发现

• 对于任意极限无穷且 $ k $-发散的基本序列 $ Q $，几乎所有 $ x \in [0,1) $ 满足 $ \lim_{n \to \infty} \frac{N_n^Q(B,x)}{Q_n^{(k)}} = 1 $，从而确认了 $ Q $-正规数的典型性。
• 论文建立了渐近公式 $ N_n^Q(B,x) = Q_n^{(k)} + O\left(\sqrt{Q_n^{(k)}} (\log\log Q_n^{(k)})^{1/2}\right) $，对几乎所有 $ x $ 成立，提供了精确的误差界。
• 通过显式构造表明，当 $ q_n = n+1 $ 时，存在一个 $ Q $-正规但非强 $ Q $-正规的数，从而证明在 $ Q $-Cantor 级数设定下，强正规性严格强于正规性。
• 若 $ Q $ 是 $ k $-收敛的，则 $ Q $-正规数的集合为空，因为避免长度为 $ k $ 的零块的数具有正测度。
• 对于任意极限无穷的 $ Q $，$ Q $-比值正规数的集合在 $[0,1)$ 中是稠密的，即使 $ Q $-正规数不存在。
• 推论 4.12 确认了 $ Q $-正规数在 $[0,1)$ 中具有全测度，当且仅当 $ Q $ 是完全发散的，从而在更强的渐近控制下推广了 Rényi 的结果。