[论文解读] Unbounded generalizations of the Fuglede-Putnam theorem

Souheyb Dehimi, Mohammed Hichem Mortad+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Holomorphic and Operator Theory被引用 3

一句话总结

本文研究了Fuglede-Putnam定理的无界推广，证明了在正规性和谱条件下的新结果，适用于稠定可闭算子，同时提供了对某些提议推广的反例。结果表明，若有界算子B与正规、可闭的无界算子N可交换，则B也与N*可交换，从而将经典结果推广至无界情形。

ABSTRACT

In this paper, we prove and disprove several generalizations of unbounded versions of the Fuglede-Putnam theorem.

研究动机与目标

• 将Fuglede-Putnam定理推广至无界正规算子。
• 研究无界算子与有界算子可交换时，其与伴随算子可交换的条件。
• 阐明谱条件和定义域包含在这些推广中的作用。
• 通过反例否定某些提议的推广。
• 统一并扩展现有关于无界Fuglede-Putnam型定理的结果。

提出的方法

• 以有界正规算子的经典Fuglede定理作为基础工具。
• 应用伴随运算，推导算子可交换关系之间的蕴含关系。
• 运用谱理论，特别是预解集和谱，分析无界算子。
• 应用闭图像定理及稠定可闭算子的性质，确保伴随算子的良定义性。
• 使用矩阵扩展技术（如分块算子）将问题约化为已知的有界情形。
• 通过在L2(R)上构造特定定义域的无界自伴和正规算子，构造显式反例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，BA ⊂ AB 蕴含 BA* ⊂ A*B，其中A为无界正规算子，B为有界算子？
• RQ2 当BN ⊂ MB时，Fuglede-Putnam定理能否推广至无界正规算子N和有界B？
• RQ3 当NA ⊂ AN且σ[p(A)] ≠ C时，是否必有NA* ⊂ A*N，其中A为无界算子，N为正规算子？
• RQ4 将Fuglede-Putnam定理推广至无界情形的局限性是什么？
• RQ5 是否存在NA ⊂ AN*但NA* ⊄ AN的情况，即使N为正规算子且A为自伴算子？

主要发现

• 若A为稠定可闭的正规算子，且B ∈ B(H)与A可交换，则B也与A*可交换，从而将Fuglede定理推广至无界正规算子。
• 若N为稠定可闭的正规算子，且B ∈ B(H)满足BN ⊂ MB，则BN* ⊂ M*B，从而将Fuglede-Putnam定理推广至无界正规算子。
• 对多项式p及满足σ[p(A)] ≠ C的无界正规算子N，当D(A) ⊂ D(N)时，NA ⊂ AN蕴含NA* ⊂ A*N，提供了该结果的谱条件。
• 推论表明，当A为自伴算子或有界可逆算子时，在定义域包含条件下该结果仍成立。
• 反例3.8表明，即使N为正规算子且A为自伴算子，AN* = NA也未必蕴含NA ⊂ N*A。
• 反例3.9构造了一个闭算子T和正规算子M，使得TM ⊂ MT但TM* ⊄ M*T且M*T ⊄ TM*，从而否定了某种Putnam型推广。