[论文解读] Understanding the non-Gaussian nature of reactive solute transport. From particle dynamics to the partial differential equations

Gerard Uffink, Amro Elfeki+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2011

Groundwater flow and contamination studies参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对均质多孔介质中反应性溶质运移的严格随机粒子模型，结合了随机游走的输运/弥散与马氏动力学吸赞同解吸。该模型从基本原理推导出控制偏微分方程，并表明仅靠动力学吸赞同解吸即可引起非高斯运移——表现为拖尾效应和“雪茄状”羽流——在长时间后才趋于渐近高斯行为。

ABSTRACT

In the present study we examine non-Gaussian spreading of solutes subject to advection, dispersion and kinetic sorption (adsorption/desorption). We start considering the behavior of a single particle and apply a random walk to describe advection/dispersion plus a Markov chain to describe kinetic sorption. We show in a rigorous way that this model leads to a set of differential equations. For this combination of stochastic processes such a derivation is new. Then, to illustrate the mechanism that leads to non-Gaussian spreading we analyze this set of equations at first leaving out the Gaussian dispersion term (microdispersion). The set of equations now transforms to the telegrapher's equation. Characteristic for this system is a longitudinal spreading, that becomes Gaussian only in the long-time limit. We refer to this as kinetics induced spreading. When the microdispersion process is included back again, the characteristics of the telegraph equations are still present. Now two spreading phenomena are active, the Gaussian microdispersive spreading plus the kinetics induced non-Gaussian spreading. In the long run the latter becomes Gaussian as well. Another non-Gaussian feature shows itself in the 2D situation. Here, the lateral spread and the longitudinal displacement are no longer independent, as should be the case for a 2D Gaussian spreading process. In a displacing plume this interdependence is displayed as a `tailing' effect. We also analyze marginal and conditional moments, which confirm this result. With respect to effective properties (velocity and dispersion) we conclude that effective parameters can be defined properly only for large times (asymptotic times). In the two-dimensional case it appears that the transverse spreading depends on the longitudinal coordinate. This results in `cigar-shaped' contours.

研究动机与目标

• 建立均质含水层中反应性溶质运移的严格随机基础，挑战‘粒子追踪仅是PDE的类比’这一假设。
• 研究仅靠动力学吸赞同解吸（无介质非均质性）如何产生非高斯运移模式，如拖尾效应和不对称羽流轮廓。
• 从包含随机游走与马氏吸附/解吸的单粒子随机模型出发，推导精确的偏微分方程。
• 分析矩（尤其是偏度与峰度）的时间演化，表明有效运移参数（速度、弥散度）在渐近前具有时间依赖性。
• 通过证明纵向位置影响横向扩散，解释二维中‘雪茄状’羽流轮廓的成因。

提出的方法

• 使用离散时间随机游走描述输运与弥散，结合两状态马氏链描述吸附/解吸动力学，对单个溶质粒子建模。
• 利用矩 generating 函数与拉普拉斯变换，从随机粒子模型推导控制偏微分方程组。
• 将波动方程作为忽略微观弥散时的极限情况分析，表明移动与滞留状态间的动力学切换可引起非高斯运移。
• 利用空间矩（尤其二维中的条件矩与边缘矩）检测在1D或边缘分布中不可见的非高斯行为。
• 对随机模型应用广义中心极限定理，证明在长时间后行为渐近收敛至高斯分布。
• 量化有效纵向弥散系数，表明其在标准水动力弥散之外，还包含一个与 $v^2rac{ u heta}{( u+ heta)^3}$ 成正比的非线性项。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否直接从包含动力学吸赞同解吸的随机粒子模型出发，严格推导出对流-弥散-反应PDE，而非事后假设其等价性？
• RQ2 当仅存在动力学吸赞同解吸时，非高斯运移在均质介质中的起源是什么？其与高斯弥散有何不同？
• RQ3 在二维中，纵向与横向运移的相互依赖如何导致‘雪茄状’羽流轮廓？这对基于矩的诊断方法有何启示？
• RQ4 有效运移参数（速度与弥散度）在何时趋于恒定？这一临界时间由什么决定？
• RQ5 为何在动力学吸赞同解吸主导区域，有效纵向弥散系数对地下水速度呈二次依赖，尽管在微观弥散项中为线性依赖？

主要发现

• 通过将粒子运动建模为随机游走与双状态马氏过程结合，成功实现了控制PDE的严格推导，证明了粒子动力学与PDE之间的等价性。
• 仅靠动力学吸赞同解吸即可通过‘动力学诱导弥散’机制引起非高斯运移，表现为拖尾效应与非高斯峰度，即使在无介质非均质性时亦可观察到。
• 在二维情况下，由于吸附态中不同纵向位置的停留时间差异，横向扩散依赖于纵向坐标，导致‘雪茄状’羽流轮廓。
• 有效纵向弥散系数包含一个额外项 $v^2rac{ u heta}{( u+ heta)^3}$，其与速度平方成正比，且完全源于动力学吸赞同解吸动力学。
• 有效参数稳定前的临界时间约为 $3/( u + heta)$，表明有效弥散度不能在注入后立即视为恒定。
• 二维条件矩揭示了在1D或边缘矩中被掩盖的非高斯行为，证实偏度与峰度是预渐近运移阶段的关键诊断指标。