[论文解读] Unified convergence analysis of numerical schemes for a miscible displacement problem

Jérôme Droniou, Robert Eymard+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 65被引用 10

一句话总结

本文针对多孔介质中混相驱替问题的数值格式，采用梯度离散化方法（GDM）提出了统一的收敛性分析。在最小正则性假设下，建立了近似浓度在 $L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$ 范数下的收敛性，证明了在可变粘度和低扩散条件下，中心格式与迎风格式均会失效，并提出通过各向同性数值扩散实现稳定且精确的修正，该修正项随网格尺寸趋于零。

ABSTRACT

This article performs a unified convergence analysis of a variety of numerical methods for a model of the miscible displacement of one incompressible fluid by another through a porous medium. The unified analysis is enabled through the framework of the gradient discretisation method for diffusion operators on generic grids. We use it to establish a novel convergence result in $L^\\infty(0,T; L^2(\\Omega))$ of the approximate concentration using minimal regularity assumptions on the solution to the continuous problem. The convection term in the concentration equation is discretised using a centred scheme. We present a variety of numerical tests from the literature, as well as a novel analytical test case. The performance of two schemes are compared on these tests; both are poor in the case of variable viscosity, small diffusion and medium to small time steps. We show that upstreaming is not a good option to recover stable and accurate solutions, and we propose a correction to recover stable and accurate schemes for all time steps and all ranges of diffusion.

研究动机与目标

• 为应用于混相驱替问题的各类数值格式提供统一的收敛性分析。
• 在最小正则性假设下，建立近似浓度在时间上一致、空间上强收敛于 $L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$ 范数下的统一收敛性。
• 识别并解决在可变粘度和低扩散条件下中心格式与迎风格式的不稳定性问题。
• 提出一种基于各向同性数值扩散的修正方法，确保在所有时间步长和扩散参数范围内均保持稳定与准确。

提出的方法

• 采用梯度离散化方法（GDM）作为构建一般网格上数值格式的统一框架。
• 浓度方程中的对流项采用中心格式进行离散。
• 应用一种基于近期发展的标量退化抛物方程新收敛技术，以实现 $L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$ 收敛性。
• 分析中采用对连续解的最小正则性假设，增强了方法的鲁棒性。
• 测试了两种格式：在结构化矩形网格上的有限差分格式，以及在三角形网格上的质量集中 $P^1$ 有限元格式。
• 通过添加与达西速度大小成正比的各向同性数值扩散项引入修正，该修正项随网格尺寸趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为应用于混相驱替问题的多种数值格式建立统一的收敛性分析？
• RQ2 所提出的框架是否能在最小正则性假设下确保浓度在 $L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$ 范数下的收敛性？
• RQ3 为何在可变粘度和低扩散条件下，中心格式与迎风格式会失效？
• RQ4 能否构造一种在所有时间步长和扩散参数范围内均表现稳定且准确的数值格式？
• RQ5 添加各向同性数值扩散对格式的稳定性和准确性有何影响？

主要发现

• 统一的收敛性分析建立了近似浓度在 $L^{\infty}(0,T;L^{2}(\Omega))$ 范数下的收敛性，优于以往在 $L^{2}(0,T;L^{2}(\Omega))$ 或更弱范数下的结果。
• 数值实验表明，当粘度变化且扩散较小时，中心格式与迎风格式均产生不稳定且不准确的结果。
• 本文证明了迎风格式在可变粘度和低扩散条件下无法稳定解，挑战了迎风格式具有鲁棒性的普遍假设。
• 提出了一种修正方法，通过添加与达西速度大小成正比的各向同性数值扩散，确保在所有测试条件下均保持稳定与准确。
• 该修正项以与迎风扩散相同的方式随网格尺寸趋于零，从而保持一致性和收敛性。
• 所提出的格式在所有时间步长和所有扩散范围内均实现了稳定且准确的解，即使在具有挑战性的参数区域亦然。