[论文解读] Uniform approximation in classical weak convergence theory

Viktor Bengs, Hajo Holzmann|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文在概率论中发展了经典弱收敛结果的统一版本，重点研究在概率测度族上的一致渐近正态性。在一致绝对连续性和矩条件等假设下，建立了统一的中心极限定理，实现了参数化族中随机向量和对正态分布的一致弱收敛。

ABSTRACT

A common statistical task lies in showing asymptotic normality of certain statistics. In many of these situations, classical textbook results on weak convergence theory suffice for the problem at hand. However, there are quite some scenarios where stronger results are needed in order to establish an asymptotic normal approximation uniformly over a family of probability measures. In this note we collect some results in this direction. We restrict ourselves to weak convergence in $\mathbb R^d$ with continuous limit measures.

研究动机与目标

• 将经典弱收敛理论扩展至参数化概率测度族上的一致收敛。
• 解决在参数依赖下标准结果失效时，统计推断中对一致渐近正态性的需求。
• 为基础定理（如Portmanteau定理、Cramér-Wold定理、Lindeberg-Feller定理）提供统一版本，以支持稳健的统计应用。
• 建立在分布族上，随机向量和一致收敛于正态极限的条件。

提出的方法

• 通过参数集上的上确界引入一致弱收敛：对有界连续函数，$\mu_n^{\vartheta} \stackrel{w,\Theta}{\Rightarrow} \mu^\vartheta$。
• 在$\Theta$上相对于连续测度$Q$定义一致绝对连续性，以确保对小集合的一致控制。
• 推导关键定理的一致版本：Portmanteau定理、Cramér-Wold定理、连续映射定理及Slutzky引理。
• 应用一致Lévy连续性定理和一致特征函数逼近，证明一致特征函数收敛。
• 利用一致矩条件和一致Lindeberg型条件，验证特征函数一致收敛于正态特征函数。
• 使用一致逼近引理（如引理7.1、7.2、7.3）来控制特征函数乘积与指数函数之间的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，随机向量的弱收敛在参数族$\Theta$上一致成立？
• RQ2 经典弱收敛结果（如Cramér-Wold定理、Portmanteau定理）如何推广至$\Theta$上的一致收敛？
• RQ3 哪些一致矩条件与一致绝对连续性条件可确保一致收敛于正态分布？
• RQ4 能否建立Lindeberg-Feller定理的一致版本，以获得一致中心极限定理？
• RQ5 在一致可积性和高阶矩趋于零的条件下，如何证明特征函数的一致收敛？

主要发现

• 一致弱收敛$\mu_n^{\vartheta} \stackrel{w,\Theta}{\Rightarrow} \mu^\vartheta$等价于有界连续函数上积分的一致收敛。
• 在一致绝对连续性条件下，一致Portmanteau定理成立，将收敛性与闭集/开集及下半连续函数联系起来。
• 一致Cramér-Wold定理表明，投影收敛可推出一致分布收敛。
• 一致Lévy连续性定理将一致特征函数收敛与一致弱收敛联系起来。
• 一致Lindeberg-Feller定理表明，若和的方差一致收敛且Lindeberg条件一致成立，则和一致收敛于正态分布。
• 主要结果定理7.4表明，$\sup_{\vartheta \in \Theta} |P(\sum X_{n,i}^\vartheta \leq \mathbf{x}) - \Phi_\Sigma(\mathbf{x})| = o(1)$，在一致矩条件与一致绝对连续性条件下，证明了一致渐近正态性。