[论文解读] Uniform distribution of Galois conjugates and beta-conjugates of a Parry number near the unit circle and dichotomy of Perron numbers

Jean-Louis Verger-Gaugry|ArXiv.org|Nov 26, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用 10

一句话总结

本文利用Erdős-Turán差异性框架，结合Mignotte与Amoroso的改进，研究了Parry数在单位圆附近的Galois共轭与beta共轭的等分布性。它建立了Parry多项式中的分圆因子与黎曼猜想之间的联系，并证明了Parry数序列的等分布极限定理，凸显了代数数域中Parry与非Parry Perron数之间的二分性。

ABSTRACT

Concentration and equi-distribution, near the unit circle, in Solomyak's set, of the union of the Galois conjugates and the beta-conjugates of a Parry number $β$ are characterized by means of the Erdős-Turán approach, and its improvements by Mignotte and Amoroso, applied to the analytical function $f_β(z) = -1 + \sum_{i \geq 1} t_i z^i$ associated with the Rényi $β$-expansion $d_β(1)= 0.t_1 t_2 ...$ of unity. Mignotte's discrepancy function requires the knowledge of the factorization of the Parry polynomial of $β$. This one is investigated using theorems of Cassels, Dobrowolski, Pinner and Vaaler, Smyth, Schinzel in terms of cyclotomic, reciprocal non-cyclotomic and non-reciprocal factors. An upper bound of Mignotte's discrepancy function which arises from the beta-conjugates of $β$ which are roots of cyclotomic factors is linked to the Riemann hypothesis, following Amoroso. An equidistribution limit theorem, following Bilu's theorem, is formulated for the concentration phenomenon of conjugates of Parry numbers near the unit circle. Parry numbers are Perron numbers. Open problems on non-Parry Perron numbers are mentioned in the context of the existence of non-unique factorizations of elements of number fields into irreducible Perron numbers (Lind).

研究动机与目标

• 表征Parry数的Galois共轭与beta共轭在单位圆附近的集中与等分布性。
• 利用Cassels、Dobrowolski、Pinner、Vaaler、Smyth与Schinzel的结果，分析Parry多项式分解为分圆、互反非分圆与非互反因子的形式。
• 研究分圆因子在Mignotte差异性函数中的作用及其与黎曼猜想的联系。
• 制定Parry数序列的等分布极限定理，扩展Bilu定理。
• 探讨非Parry Perron数算术结构中的开放问题，特别是数域中非唯一因式分解的问题。

提出的方法

• 将Erdős-Turán方法应用于与单位的Rényi $\beta$-展开相关的生成函数 $ f_{\beta}(z) = -1 + \sum_{i\geq 1} t_i z^i $。
• 使用Mignotte的差异性函数，该函数在因式分解下具有次可加性，以分析Parry多项式 $ n_{\beta}^*(X) $ 的根分布。
• 利用Cassels、Dobrowolski、Pinner与Vaaler、Smyth及Schinzel的定理，研究 $ n_{\beta}^*(X) $ 分解为分圆、互反非分圆与非互反正交不可约因子的形式。
• 通过Amoroso的结果，将来自分圆因子的单位根差异性贡献与黎曼猜想联系起来。
• 应用Bilu的等分布定理，推导出Parry数序列的极限定理，其极限分布为单位圆上的Haar测度。
• 利用Szegő定理证明，当 $ \beta $ 不是Parry数时，$ f_{\beta}(z) $ 以单位圆为自然边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Parry数的Galois共轭与beta共轭在单位圆附近如何分布？
• RQ2 分圆因子在Parry多项式的差异性函数中起什么作用，其与黎曼猜想有何关联？
• RQ3 能否为Parry数序列建立类似Bilu定理的等分布极限定理？
• RQ4 非Parry Perron数的算术结构如何，特别是其在数域中非唯一因式分解的问题？
• RQ5 Parry多项式的因式类型（分圆、互反、非互反）如何影响共轭的分布？

主要发现

• 根据Amoroso的结果，Parry多项式中分圆因子导出的差异性函数与黎曼猜想相关联。
• 为Parry数序列建立了等分布极限定理，极限分布为单位圆上的Haar测度，扩展了Bilu定理。
• Parry数的正实共轭数量有界，可与Kac对随机多项式的公式进行比较。
• Parry多项式 $ n_{\beta}^*(X) $ 分解为分圆、互反非分圆与非互反正交不可约因子，各类因子对差异性的贡献不同。
• 导出了beta共轭重数的上界，特别是来自分圆与非互反正交因子的部分。
• 在每个实数域 $ \mathbb{K} \neq \mathbb{Q} $ 中，Perron数均存在非唯一因式分解，如定理5.6所示，且其与非有理Perron数的存在相关。