[论文解读] Uniform estimates for Stokes equations in a domain with a small hole and applications in homogenization problems

Yong Lu|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 12被引用 9

一句话总结

该论文建立了在具有缩小孔洞的区域中，Stokes方程解的统一 W^{1,p} 估计，证明当且仅当 d' < p < d（当 d=2 时 p=2）时，此类估计在孔洞尺寸上具有一致性。该结果使得在多孔介质中构造统一的限制算子和具有量化估计的Bogovskii型算子成为可能，这对流体均质化问题至关重要。

ABSTRACT

We consider the Dirichlet problem of the Stokes equations in a domain with a shrinking hole in $\mathbb{R}^d, \ d\geq 2$. A typical observation is that, the Lipschitz norm of the domain goes to infinity as the size of the hole goes to zero. Thus, if $p eq 2$, the classical results indicate that the $W^{1,p}$ estimate of the solution may go to infinity as the size of the hole tends to zero. In this paper, we give a complete description for the uniform $W^{1,p}$ estimates of the solution for all $1

研究动机与目标

• 建立在具有缩小孔洞的区域中，Stokes方程的统一 W^{1,p} 估计，且与孔洞尺寸无关。
• 解决当孔洞缩小时经典 W^{1,p} 估计的失效问题，特别是当 p ≠ 2 时。
• 将统一估计应用于在多孔介质中构造统一的限制算子。
• 在多孔介质中构造一个具有量化估计的Bogovskii型算子。
• 为涉及高对比度或微结构介质的流体机械均质化问题提供一个量化框架。

提出的方法

• 通过分析当孔洞尺寸 ε → 0 时解的行为，推导出在具有小孔的区域中 Stokes 方程的统一 W^{1,p} 估计。
• 使用变量变换将缩小孔洞区域中的问题转化为固定区域问题，从而实现统一估计。
• 应用紧致性论证和反证法，表征统一估计成立的 p 的范围。
• 构造一个广义限制算子 R_ε，将全区域上的函数映射到多孔区域，同时保持无散度结构和 W^{1,p} 控制。
• 将多孔区域中的Bogovskii型算子定义为零延拓、经典Bogovskii算子与限制算子 R_ε 的复合。
• 建立Bogovskii型算子算子范数的量化界，显示其对 ε 和 p 的依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 p ∈ (1, ∞) 值，Stokes 方程在具有缩小孔洞的区域中具有统一的 W^{1,p} 估计？
• RQ2 当孔洞尺寸 ε → 0 时，经典 W^{1,p} 估计的失效机制是什么，特别是当 p ≠ 2 时？
• RQ3 是否可以在多孔介质中构造一个保持无散度条件且具有与 ε 无关的统一 W^{1,p} 有界性的限制算子？
• RQ4 是否可能在多孔介质中构造一个具有量化算子范数估计的Bogovskii型算子？
• RQ5 Bogovskii型算子的算子范数对孔洞尺寸 ε 和指数 p 的精确依赖关系是什么？

主要发现

• 在具有小孔的区域中，Stokes 方程的统一 W^{1,p} 估计成立当且仅当 d' < p < d，当 d=2 时 p=2。
• 当 p ∈ (d', d) 时，尽管区域的Lipschitz常数趋于无穷，解的 W^{1,p} 范数在 ε → 0 时仍保持统一有界。
• 限制算子 R_ε 满足 ‖∇R_ε(u)‖_{L^p(D_ε)} ≤ C(‖∇u‖_{L^p(D)} + ε^{(3−p)α−3}‖u‖_{L^p(D)})，其中 p ∈ (3/2, 3)，α ∈ (0,1)。
• 所构造的Bogovskii型算子 𝒫_ε 满足 ‖𝒫_ε(f)‖_{W^{1,p}} ≤ C(1 + ε^{((3−p)α−3)/p})‖f‖_{L^p}，其中 f ∈ L^p_0(D_ε) 且 p ∈ (3/2, 3)。
• Bogovskii型算子的算子范数依赖于 ε 和 p，当 p ≤ 3 时，其界在 ε → 0 时发散，但当 p ∈ (3/2, 3) 时保持有界。
• 该结果为涉及具有小孔的多孔介质的流体机械均质化问题提供了量化基础。