[论文解读] Uniform labelled calculi for preferential conditional logics based on neighbourhood semantics

Marianna Girlando, Sara Negri+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2020

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文通过邻域语义，为偏好条件逻辑PCL及其扩展提出了一套统一的标记序列演算，构建了一个模块化、可容许切割的证明系统，支持终止的自顶向下证明搜索，并通过从失败证明中提取反模型，构造性地证明了有限模型性质。该方法实现了直接的语义完备性，并基于邻域模型提出了一种新颖且自然的PCL语义。

ABSTRACT

The preferential conditional logic PCL, introduced by Burgess, and its extensions are studied. First, a natural semantics based on neighbourhood models, which generalise Lewis' sphere models for counterfactual logics, is proposed. Soundness and completeness of PCL and its extensions with respect to this class of models are proved directly. Labelled sequent calculi for all logics of the family are then introduced. The calculi are modular and have standard proof-theoretical properties, the most important of which is admissibility of cut, that entails a syntactic proof of completeness of the calculi. By adopting a general strategy, root-first proof search terminates, thereby providing a decision procedure for PCL and its extensions. Finally, the semantic completeness of the calculi is established: from a finite branch in a failed proof attempt it is possible to extract a finite countermodel of the root sequent. The latter result gives a constructive proof of the finite model property of all the logics considered.

研究动机与目标

• 为偏好条件逻辑PCL及其扩展开发一种统一、模块化且证明论性质良好的序列演算。
• 基于邻域模型提出PCL的新颖且自然的语义，推广Lewis的球形模型，并抽象出偏好关系。
• 在不依赖中间语义的前提下，建立PCL相对于邻域语义的直接可靠性和完备性。
• 证明在该演算中自顶向下的证明搜索可终止，从而为PCL及其扩展提供决策过程。
• 证明失败的证明尝试可系统性地转化为有限反模型，从而构造性地证明该家族所有逻辑的有限模型性质。

提出的方法

• 为PCL提出一种邻域语义，其中每个世界关联一组邻域，表示信息状态或可接受性程度。
• 定义在世界$x$处条件句$A > B$为真，当且仅当对所有满足$\alpha \Vdash^\exists A$且在包含关系下最小的$\alpha \in N(x)$，均有$B$在$\alpha$中为真。
• 为PCL及其扩展引入标记序列演算，使用标签追踪世界和邻域，确保模块化与标准的证明论性质。
• 通过语法方式证明切割规则的可容许性，从而表明该演算相对于邻域语义的完备性。
• 实施一种自顶向下的证明搜索策略，由于标签和邻域的有限性，保证其终止性，从而实现决策过程。
• 从任意有限、完全展开且失败的证明分支中构造出有限反模型，从而构造性地证明有限模型性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于邻域语义，为PCL及其扩展开发一种统一、模块化且切割可容许的标记序列演算？
• RQ2 该邻域语义是否在不依赖偏好或球形模型的前提下，对PCL保持可靠性和完备性？
• RQ3 能否保证在所提演算中自顶向下的证明搜索可终止，从而为PCL提供决策过程？
• RQ4 能否系统性地将失败的证明尝试转化为有限反模型，从而构造性地证明有限模型性质？
• RQ5 所提演算是否提供了相对于邻域语义的直接、构造性完备性证明？

主要发现

• 本文在不依赖偏好或球形模型的前提下，建立了PCL及其扩展相对于所提邻域语义的可靠性和完备性，提供了直接的证明。
• PCL及其扩展的标记序列演算具有模块化特性，支持切割可容许性，并支持终止的自顶向下证明搜索，从而形成决策过程。
• 该演算被证明具有语义完备性：从任意有限、完全展开且失败的证明尝试中，可提取出根序列的有限反模型。
• 该反模型提取过程为PCL及其扩展家族中所有逻辑提供了有限模型性质的构造性证明。
• 邻域语义被证明是偏好语义的自然推广，抽象出偏好关系的同时保留了条件句的直观含义。
• 该方法提供了相对于邻域模型的全新直接完备性结果，区别于以往依赖与偏好语义等价性的间接证明。