[论文解读] Uniform Manin-Mumford for a family of genus 2 curves

Laura DeMarco, Holly Krieger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 4

一句话总结

该论文通过 P1(Q) 上的 Arakelov-Zhang 交点理论，采用新颖的定量等分布方法，建立了在复数域上既是双椭圆又是双曲的亏格 2 曲线的扭点数的统一有界性。关键结果是：对于此类曲线在阿贝尔-雅可比映射像中的公共扭点数，给出了统一的有界性，从而在 2-扭点最大重叠的情况下，解决了 Bogomolov、Fu 和 Tschinkel 的一个猜想。

ABSTRACT

We introduce a general strategy for proving quantitative and uniform bounds on the number of common points of height zero for a pair of in-equivalent height functions on ℙ1(ℚ̄). We apply this strategy to prove a conjecture of Bogomolov, Fu, and Tschinkel asserting uniform bounds on the number of common torsion points of elliptic curves in the case of two Legendre curves over ℂ. As a consequence, we obtain two uniform bounds for a two-dimensional family of genus 2 curves: a uniform Manin-Mumford bound for the family over ℂ, and a uniform Bogomolov bound for the family over ℚ̄.

研究动机与目标

• 建立复数域上亏格 2 曲线在阿贝尔-雅可比映射像中扭点数的统一有界性。
• 解决 Bogomolov、Fu 和 Tschinkel 关于椭圆曲线标准投影像中公共扭点统一有界性的猜想。
• 发展一种通用策略，用于控制 P1(Q) 上两个不同的 adelic 高度函数的公共零高度点数，适用于曲线族。
• 利用 Legendre 椭圆曲线族作为关键情形，对复数域上（Manin-Mumford）和有理数域上（Bogomolov）的二维族亏格 2 曲线证明统一有界性。

提出的方法

• 利用 P1(Q) 上 adelically 度量化的线丛之间的 Arakelov-Zhang 交点配对，量化高度函数之间的距离。
• 将问题约化为 Q\{0,1} 上的 Legendre 椭圆曲线族 Et: y² = x(x−1)(x−t)，其高度函数 ˆht 由 Néron-Tate 标准高度诱导。
• 证明对于 t₁ ≠ t₂ 属于 Q\{0,1}，配对 ˆht₁ · ˆht₂ 存在统一的正下界 δ > 0，确保高度不趋近于相等。
• 利用 v-进 Birkhoff 空间上的局部高度函数和平衡测度，建立当 h(t₁,t₂) 较大时的渐近下界 ˆht₁ · ˆht₂ ≥ αh(t₁,t₂) − β。
• 利用 Favre-Rivera-Letelier 和 Fili 的精细定量等分布结果，导出涉及公共零点数 N(t₁,t₂)（即公共扭点）的配对上界。
• 应用复动力系统退化理论和混合空间，控制当参数 t 趋近奇点 {0,1,∞} 时的阿基米德贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在复数域上，对既是双椭圆又是双曲的亏格 2 曲线的阿贝尔-雅可比映射像中扭点数建立统一有界性？
• RQ2 Bogomolov、Fu 和 Tschinkel 关于椭圆曲线投影中公共扭点统一有界性的猜想，在 2-扭点最大重叠（|π₁(E₁[2]) ∩ π₂(E₂[2])| = 3）的情形下是否成立？
• RQ3 能否发展一种通用策略，以统一方式控制 P1(Q) 上两个不同 adelic 高度函数的公共零高度点数，且不依赖于定义域或素数选择？
• RQ4 Arakelov-Zhang 配对与椭圆曲线标准投影像中公共扭点数之间存在何种关系？

主要发现

• 存在统一有界常数 B，使得对所有复数域上的光滑双椭圆亏格 2 曲线 X 及其所有魏尔斯特拉斯点 P，均有 |jP(X) ∩ J(X)tors| ≤ B，该有界性有效但未显式计算。
• 对于 Legendre 族 Et: y² = x(x−1)(x−t)，对所有 t₁ ≠ t₂ 属于 C\{0,1}，|π(Etors_t₁) ∩ π(Etors_t₂)| 存在统一有界性，从而在最大重叠情形下解决了猜想 1.3。
• 对所有 t₁ ≠ t₂ 属于 Q\{0,1}，Arakelov-Zhang 配对 ˆht₁ · ˆht₂ 满足统一正下界 δ > 0，确保高度彼此远离。
• 建立了当 h(t₁,t₂) 较大时的渐近下界 ˆht₁ · ˆht₂ ≥ αh(t₁,t₂) − β，将配对与参数的算术复杂度联系起来。
• 导出了以公共零点数 N(t₁,t₂) 表示的配对上界：ˆht₁ · ˆht₂ ≤ (ε + C(ε)/N(t₁,t₂))(h(t₁,t₂) + 1)，结合下界估计，由此得到 N(t₁,t₂) 的统一上界。
• 结果表明：对有理数域上的亏格 2 曲线族存在统一 Bogomolov 有界性，对复数域上的二维族 L₂ ⊂ M₂ 存在统一 Manin-Mumford 有界性。