[论文解读] Uniform Regularity Estimates in Parabolic Homogenization

Jun Geng, Zhongwei Shen|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文通过紧致性方法，为具有快速振荡、时间依赖系数的二阶抛物组建立了统一的 $W^{1,p}$、Hölder 及 Lipschitz 估计。关键贡献是在系数矩阵仅具有最小正则性假设下，于 $C^1$ 圆柱体内对初值-Dirichlet 问题实现了关于缩放参数 $\varepsilon>0$ 的 $W^{1,p}$ 估计的统一性。

ABSTRACT

We consider a family of second-order parabolic systems in divergence form with rapidly oscillating and time-dependent coefficients, arising in the theory of homogenization. We obtain uniform interior $W^{1,p}$, Hölder, and Lipschitz estimates as well as boundary $W^{1,p}$ and Hölder estimates, using compactness methods. As a consequence, we establish uniform $W^{1,p}$ estimates for the initial-Dirichlet problems in $C^{1}$ cylinders.

研究动机与目标

• 为同伦理论中出现的具有快速振荡、时间依赖系数的抛物系统建立统一的正则性估计。
• 推导出与小参数 $\varepsilon>0$ 无关的 $W^{1,p}$、Hölder 及 Lipschitz 估计。
• 将这些估计推广至边界情形，特别是 $C^1$ 光滑边界圆柱体中的初值-Dirichlet 问题。
• 通过紧致性与实变量方法，为抛物同伦中的统一 $W^{1,p}$ 估计提供一个框架。
• 将内部与边界估计推广至具有 $C^1$ 边界的时变区域中的完整初值-Dirichlet 问题。

提出的方法

• 利用紧致性方法分析当 $\varepsilon \to 0$ 时，具有周期性、振荡系数的抛物系统解 $u_\varepsilon$ 的行为。
• 在抛物圆柱体 $Q_r(x_0,t_0)$ 与 $\Omega_r(x_0,t_0)$ 上使用尺度不变估计，以获得与 $\varepsilon$ 无关的统一有界性。
• 应用 Poincaré 型不等式与 $L^2$ 能量估计，以控制 $u_\varepsilon$ 及其梯度的 $L^2$-范数。
• 通过实变量论证与覆盖技术建立 $W^{1,p}$ 估计，将问题约化为重叠圆柱体上的局部估计。
• 通过处理球 $B(x_0,2r)$ 与边界 $\partial\Omega$ 相交的情形，结合 Poincaré 不等式与零边界条件，将结果从内部情形推广至边界情形。
• 利用对偶性与将 $F$ 分解为 $g + \text{div}(f)$ 的方法，将一般 $W^{-1,p}$ 数据情形约化为 $L^p$-散度情形，借助热方程的已知估计完成推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有快速振荡、时间依赖系数的抛物系统建立与尺度参数 $\varepsilon$ 无关的统一 $W^{1,p}$ 估计？
• RQ2 Hölder 与 Lipschitz 正则性估计在抛物圆柱体中对 $\varepsilon$ 的统一行为如何？
• RQ3 系数矩阵 $A(y,s)$ 需满足何种条件，才能在 $C^1$ 光滑区域中获得统一的边界 $W^{1,p}$ 与 Hölder 估计？
• RQ4 能否将统一的 $W^{1,p}$ 估计推广至 $L^p(0,T;W^{-1,p}(\Omega))$ 数据下的完整初值-Dirichlet 问题？
• RQ5 紧致性方法与实变量技术在多大程度上可被适配于具有时间依赖系数的抛物同伦问题？

主要发现

• 对于 $2 < p < \infty$，建立了统一的内部 $W^{1,p}$ 估计，常数 $C_p$ 仅依赖于 $d$、$m$、$p$ 与系数矩阵 $A$，而与 $\varepsilon$ 无关。
• 当 $p > d+2$ 时，解 $u_\varepsilon$ 满足指数为 $\alpha = 1 - \frac{d+2}{p}$ 的 Hölder 估计，且对 $\varepsilon$ 一致。
• 在 $A$ 满足 Hölder 连续性条件下，可获得 Lipschitz 正则性 $C^{1,1/2}$，其估计为 $\|u_\varepsilon\|_{C^{1,1/2}(Q)} \leq C_p \left\{ \frac{1}{r}\left(-\!\!\!\!\int_{2Q}|u_\varepsilon|^2\right)^{1/2} + r\left(-\!\!\!\!\int_{2Q}|F|^p\right)^{1/p} \right\}$。
• 在 $C^1$ 域中导出了边界 $W^{1,p}$ 估计，其估计为 $\left(-\!\!\!\!\int_{\Omega_r}|\nabla u_\varepsilon|^p\right)^{1/p} \leq C_p \left\{ \frac{1}{r}\left(-\!\!\!\!\int_{\Omega_{2r}}|u_\varepsilon|^2\right)^{1/2} + \left(-\!\!\!\!\int_{\Omega_{2r}}|f|^p\right)^{1/p} \right\}$，且对 $\varepsilon$ 一致。
• 在 $C^1$ 圆柱体中，完整初值-Dirichlet 问题具有统一的 $W^{1,p}$ 估计：$\|\nabla u_\varepsilon\|_{L^p(0,T;L^p(\Omega))} \leq C_p \|F\|_{L^p(0,T;W^{-1,p}(\Omega))}$，其中 $C_p$ 与 $\varepsilon$ 无关。
• 通过减去一个调和延拓，将结果推广至非齐次 Dirichlet 数据情形，且保持了对 $\varepsilon$ 的统一性。