[论文解读] Uniform Reliability for Unbounded Homomorphism-Closed Graph Queries

Antoine Amarilli|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文证明了无界同态闭合图查询的统一可靠性问题为#P难，将先前在概率查询评估中得到的难解性结果扩展到了无权重情形。作者通过一种新颖的子图编码方式，将问题约化自加权st连通性问题，证明了在除非P = NP，否则计数满足此类查询的子实例在计算上是不可行的。

ABSTRACT

We study the uniform query reliability problem, which asks, for a fixed Boolean query Q, given an instance I, how many subinstances of I satisfy Q. Equivalently, this is a restricted case of Boolean query evaluation on tuple-independent probabilistic databases where all facts must have probability 1/2. We focus on graph signatures, and on queries closed under homomorphisms. We show that for any such query that is unbounded, i.e., not equivalent to a union of conjunctive queries, the uniform reliability problem is #P-hard. This recaptures the hardness, e.g., of s-t connectedness, which counts how many subgraphs of an input graph have a path between a source and a sink. This new hardness result on uniform reliability strengthens our earlier hardness result on probabilistic query evaluation for unbounded homomorphism-closed queries (ICDT'20). Indeed, our earlier proof crucially used facts with probability 1, so it did not apply to the unweighted case. The new proof presented in this paper avoids this; it uses our recent hardness result on uniform reliability for non-hierarchical conjunctive queries without self-joins (ICDT'21), along with new techniques.

研究动机与目标

• 建立图签名上无界同态闭合查询的统一可靠性问题的计算难解性。
• 将先前在概率查询评估（具有任意概率）中得到的#P难结果扩展到所有事实概率为1/2的无权重情形。
• 克服由于缺乏概率为1的事实而带来的约化技术挑战，这些事实曾在早期证明中被使用。
• 支持一个更广泛的猜想：当且仅当查询不是可安全合并的元组查询的并集时，统一可靠性问题为#P难。

提出的方法

• 从一个特定概率下的加权st连通性问题（φ, η-U-ST-CON）约化至统一可靠性问题，其中 φ = 2^{-Θ×(τ−1)} 且 η = 2^{-Θ(4+(τ−1)+2ω)}。
• 从图G构建数据库实例IG，使得满足查询的子实例恰好对应于从源点到汇点存在路径的子图。
• 使用编码机制将顶点和边映射为事实模式，并通过“分离”副本模拟缺失或不完整的事实。
• 采用两步分离过程：首先拆分不完整的边，然后通过最大副本元素子集处理不完整的顶点事实。
• 定义从构造实例到“爆炸”结构的同态，以证明查询满足性仅取决于路径的存在性。
• 依赖于先前关于查询 R(x), S(x,y), T(y) 的难解性结果，以启动约化过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 无界同态闭合查询在图签名上的统一可靠性问题是否为#P难？
• RQ2 概率查询评估中的难解性结果能否扩展到所有事实概率为1/2的无权重情形？
• RQ3 在不使用概率为1的事实的情形下，从模型计数问题约化时会遇到哪些技术挑战？
• RQ4 同态闭合查询的统一可靠性问题是否表现出与概率查询评估类似的复杂性二分图谱？
• RQ5 用于概率数据库的约化技术能否被适配至统一可靠性设置？

主要发现

• 对于任意二元签名上的无界同态闭合查询，其统一可靠性问题为#P难。
• 该证明避免了对概率为1的事实的依赖，因此可适用于无权重情形。
• 从 φ, η-U-ST-CON 的约化表明，满足查询的子实例计数等价于具有特定边和顶点存活概率的图中s-t路径的计数。
• 该构造确保只有那些不缺失基本事实或补充事实的“格式正确”的子实例才能满足查询。
• 基于同态的论证证明了查询满足性精确取决于原图中是否存在从源点到汇点的路径。
• 该结果支持如下猜想：当且仅当查询不是可安全合并的元组查询的并集时，统一可靠性问题为#P难。