[论文解读] Uniformly Positive Lyapunov Exponents for a Class of $C^2$ Quasiperiodic Schr\"odinger Cocycles

Yiqian Wang, Zhenghe Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Quantum chaos and dynamical systems被引用 1

一句话总结

本论文通过以渐近稳定与不稳定方向为核心的动力系统方法，建立了具有非退化迪奥ophantine频率的 $C^2$ 准周期薛定谔cocycles 的一致正 Lyapunov 指数以及能量上的弱 Hölder 连续性。作为推论，积分态密度也显示出弱 Hölder 连续性。

ABSTRACT

We show that for a class of $C^2$ quasiperiodic potentials and for any Diophantine frequency, the Lyapunov exponents of the corresponding Schrodinger cocycles are uniformly positive and weak Holder continuous as function of energies. As a corollary, we also obtain that the corresponding integrated density of states (IDS) is weak Holder continous. Our approach is of purely dynamical systems, which depends on a detailed analysis of asymptotic stable and unstable directions. We also apply it to more general $\mathrm{SL}(2,\mathbb R)$ cocycles, which in turn can be applied to get uniform positivity and continuity of Lyapuonv exponents around unique nondegenerate extremal points of any smooth potential, and to a certain class of $C^2$ Szeg\H o cocycles.

研究动机与目标

• 建立具有非退化迪奥ophantine频率的 $C^2$ 准周期薛定谔cocycles 的 Lyapunov 指数一致正性。
• 证明 Lyapunov 指数作为能量函数的弱 Hölder 连续性。
• 作为推论，推导出积分态密度（IDS）的弱 Hölder 连续性。
• 将该方法推广至具有唯一非退化极值点的一般 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ cocycles。
• 将该框架应用于 $C^2$ Szeg\'o cocycles，以获得类似的正则性与正性结果。

提出的方法

• 在 cocycles 的动力系统框架下，分析渐近稳定与不稳定方向。
• 利用势函数的 $C^2$ 正则性来控制转移矩阵的行为。
• 应用非退化迪奥ophantine频率条件，以确保 Lyapunov 指数在能量上的统一性。
• 基于光滑势函数中非退化极值点的结构，采用摄动论证。
• 将该方法扩展至超越薛定谔型的 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ cocycles，包括 Szeg\'o 型系统。
• 依赖于 Lyapunov 指数不为零，以及极限下存在良好定义的不变方向。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有非退化迪奥ophantine频率的 $C^2$ 准周期薛定谔cocycles 的 Lyapunov 指数一致为正？
• RQ2 势函数的正则性如何影响 Lyapunov 指数作为能量函数的连续性性质？
• RQ3 基于稳定与不稳定方向的动力系统方法，是否可将 Lyapunov 指数一致正性结果推广至薛定谔设定之外？
• RQ4 在相同假设下，积分态密度的正则性如何？
• RQ5 该方法在多大程度上可推广至其他 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ cocycles，例如在 Szeg\'o 或正交多项式背景下出现的系统？

主要发现

• 对于 $C^2$ 准周期势函数及任意非退化迪奥ophantine频率，Lyapunov 指数在所有能量下均一致为正。
• Lyapunov 指数在能量上为弱 Hölder 连续，其连续模依赖于非退化迪奥ophantine 条件和 $C^2$ 范数。
• 由于 Lyapunov 指数的正则性，积分态密度（IDS）也呈现出弱 Hölder 连续性。
• 该方法适用于具有唯一非退化极值点的 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ cocycles，确保 Lyapunov 指数的一致正性。
• 该框架可扩展至一类 $C^2$ Szeg\'o cocycles，获得类似的 Lyapunov 指数一致正性与连续性结果。
• 该分析依赖于稳定与不稳定方向的存在性及其渐近行为，这些方向通过 $C^2$ 正则性与非退化迪奥ophantine 频率条件得到控制。