[论文解读] Unimodular equivalence of order and chain polytopes

Takayuki Hibi, Nan Li|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2012

Advanced Algebra and Logic参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文建立了对有限偏序集中序多面体与链多面体何时为单模等价的完整刻画。证明表明，单模等价成立当且仅当一个特定的五元素偏序集（一个极小元被两个不可比元素覆盖，而每个不可比元素又覆盖另一个极小元）不作为原偏序集的子偏序集出现。该结果通过一个将序多面体的面映射到链多面体面的单模变换推导得出。

ABSTRACT

The problem when the order polytope and the chain polytope of a finite partially ordered set are unimodularly equivalent will be solved.

研究动机与目标

• 确定有限偏序集中序多面体与链多面体为单模等价的必要与充分条件。
• 解决组合多面体领域中关于这两个基本多面体之间关系的长期悬而未决的开放问题。
• 通过特定禁止子偏序集的缺失，提供一个完整的组合刻画。
• 确立单模等价性与仿射等价性及相同 f-向量在相同条件下等价。

提出的方法

• 将序多面体定义为在偏序集上取值于 [0,1] 且保持序关系的函数集合。
• 将链多面体定义为在偏序集上取非负值、且在任意极大链上总和不超过 1 的函数集合。
• 构造一个单模变换 Ψ，当禁止子偏序集不存在时，该变换将序多面体映射到链多面体。
• 将两者的面分类：序多面体分为三类（极小元、极大元、覆盖关系），链多面体分为两类（坐标边界与链不等式）。
• 证明当禁止子偏序集不存在时，Ψ 将序多面体的每个面映射到链多面体的对应面，且保持格结构。
• 利用体积相等与单模格映射可推出单模等价性的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时有限偏序集的序多面体与链多面体为单模等价？
• RQ2 偏序集的何种组合条件可确保两个多面体具有相同数量的面？
• RQ3 对这些多面体而言，单模等价是否等价于仿射等价或 f-向量相等？
• RQ4 一个特定五元素子偏序集的缺失是否刻画了单模等价性？
• RQ5 序多面体的 f-向量是否可被链多面体的 f-向量支配，且等式成立时是否蕴含单模等价？

主要发现

• 当且仅当图 1 所示的偏序集（一个极小元被两个不可比元素覆盖，每个不可比元素又覆盖另一个极小元）不作为子偏序集出现时，序多面体与链多面体为单模等价。
• 单模等价恰好在序多面体与链多面体的面数相等时成立。
• 单模变换 Ψ 将序多面体的顶点（对应于序理想）映射到链多面体的顶点（对应于反链）。
• 变换 Ψ 是一个保持多面体结构与体积的单模格同构。
• 两个多面体的 f-向量相等当且仅当禁止子偏序集不存在。
• 支持了如下猜想：对所有 i 有 f_i ≤ f'_i，且在某个 f_i 处取等号时蕴含单模等价；该猜想由推论 2.3 中五个条件 (i)–(v) 的等价性所支持。