[论文解读] Unipotent almost characters of simple p-adic groups

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 11

一句话总结

本文通过等变上同调与旗流形的几何，为单 p-进李群构造了拟幂几乎特征标，建立了紧支集上同调上的自然 S-模结构。关键贡献在于从对称代数 S 到上同调环的典范代数同态，通过 Lusztig 的特征标理论将表示论与几何不变量联系起来。

ABSTRACT

Let G be a simple adjoint group and let K=k((ε)) where k is an algebraic closure of a finite field F_q. In this paper we define some geometric objects on G(K) which are similar to the (cohomology sheaves of) the unipotent character sheaves on G(k). Using these geometric objects we define the unipotent almost characters of G(K_0) where K_0=F_q((ε)) and state some conjectures relating them to the characters of unipotent representations of G(K_0).

研究动机与目标

• 通过几何与上同调方法，定义并构造单 p-进群的拟幂几乎特征标。
• 通过代数同态，在旗流形的紧支集上同调上建立自然的 S-模结构。
• 通过等变上同调代数，将 Lusztig 的特征标理论推广至 p-进群的设定。
• 阐明对称代数 S 与在 Langlands 对偶群作用下旗流形 X 的上同调之间的关系。
• 通过 GˇS-等变空间的上同调，提供拟幂特征标的几何实现。

提出的方法

• 利用与李代数 z†J 相关的对称代数 S = ⊕r≥0 S2r，其中 z†J 中的元素位于度数 2。
• 通过涉及稳定子群与点空间上同调的一系列同构，将 S 识别为总 GˇS-等变上同调代数 H∙GˇS(X, Q¯l)。
• 利用上积结构与从等变上同调到普通上同调的自然映射，构造从 S 到 H∙(X, Q¯l) 的代数同态。
• 通过上积与代数同态，赋予紧支集上同调 H∙c(X, E) 一个 S-模结构。
• 应用 Lusztig 早期工作（例如 [L4, 4.2]）中关于中心化子与抛物子群的上同调同构结果。
• 依赖于中心化子 M⁰ 的连通分支同构于 ZGJ⁰ 与一个幂零群的直积，从而实现上同调到点上同调的约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过几何表示论系统地构造单 p-进群的拟幂几乎特征标？
• RQ2 对称代数 S 与旗流形 X 的等变上同调之间的确切关系是什么？
• RQ3 H∙c(X, E) 上的 S-模结构如何由代数同态与上积结构导出？
• RQ4 旗流形 X 的上同调以何种方式通过 Langlands 对偶群作用实现拟幂特征标？
• RQ5 中心化子 M = ZGJ(g₀) 在建立导致 S ≅ H∙GˇS(X, Q¯l) 的同构链中起到什么作用？

主要发现

• 对称代数 S 与 GˇS-等变上同调代数 H∙GˇS(X, Q¯l) 之间存在典范同构。
• 构造了从 S 到 H∙(X, Q¯l) 的代数同态，使 S 作为普通上同调环的子代数被实现。
• 通过上积与代数同态，紧支集上同调 H∙c(X, E) 获得了自然的 S-模结构。
• 同构链将等变上同调约化为 H∙M(point)，其同构于 H∙ZGJ⁰(point)，从而建立起与对称代数的联系。
• 该构造通过在对偶群作用下旗流形的上同调，提供了拟幂几乎特征标的几何实现。
• 该方法确认了 H∙c(X, E) 上存在一个典范的 S-模结构，这对将 Lusztig 的特征标理论推广至 p-进群至关重要。