[论文解读] Unique ergodicity of free shifts and some other automorphisms of C*-algebras

Beatriz Abadie, Ken Dykema|ArXiv.org|Aug 9, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 27

一句话总结

本文引入并证明了在约化合并自由积 C*-代数上的自由移位自同构相对于不动点子代数的唯一遍历性，建立了遍历平均的范数收敛性。它将 Haagerup 不等式推广到此设定，并表明 $ C^*_r(\mathbb{F}_\infty) $ 上的自由移位及其具有性质 (RD) 的某些群 C*-代数，相对于其不动点子代数是唯一遍历的。

ABSTRACT

A notion of unique ergodicity relative to the fixed-point subalgebra is defined for automorphisms of unital C*-algebras. It is proved that the free shift on any reduced amalgamated free product C*-algebra is uniquely ergodic relative to its fixed-point subalgebra, as are autormorphisms of reduced group C*-algebras arising from certain automorphisms of groups. A generalization of Haagerup's inequality, yielding bounds on the norms of certain elements in reduced amalgamated free product C*-algebras, is proved.

研究动机与目标

• 为单态 C*-代数自同构定义并研究相对于不动点子代数的广义唯一遍历性概念。
• 研究约化合并自由积 C*-代数上的自由移位自同构是否相对于其不动点子代数是唯一遍历的。
• 将 Haagerup 不等式推广到约化合并自由积 C*-代数的设定，适用于固定块长度的元素。
• 为具有性质 (RD) 的 C*-代数上的自同构建立遍历平均的范数收敛性，将遍历性与算子范数界联系起来。
• 提供广义 Haagerup 型不等式的直接证明，尽管它可由 Ricard 和 Xu 的先前工作推出。

提出的方法

• 引入相对于不动点子代数 $ A^\alpha $ 的新唯一遍历性概念，其中 $ A^\alpha $ 上的每个态射都唯一地延拓为 $ A $ 上的 $ \alpha $-不变态射。
• 利用定理 3.2 中建立的结论：相对于 $ A^\alpha $ 的唯一遍历性等价于所有 $ a \in A $ 的遍历平均 $ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \alpha^k(a) $ 的范数收敛性。
• 应用广义 Haagerup 不等式（命题 5.1），以控制约化合并自由积 C*-代数中固定块长度 $ n $ 的字的线性组合的算子范数。
• 利用代数的希尔伯特空间表示 $ \tilde{\sigma} $，通过柯西-施瓦茨不等式和与块长度相关的界来估计遍历平均的范数。
• 通过将嵌入的指标移位 $ \lambda_a^i \mapsto \lambda_a^{i+1} $，在约化合并自由积 $ A = (*_B)_{i \in \mathbb{Z}} (A_i, \phi_i) $ 上构造自由移位自同构 $ \alpha $。
• 证明对于满足 $ a_i \in A_{k(i)}^\circ $ 的字 $ w = a_1 \cdots a_p $，遍历平均 $ \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \alpha^k(w) $ 沿着 $ n \to \infty $ 在范数下收敛于零，利用广义不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ C^*_r(\mathbb{F}_\infty) $ 上的自由移位是否相对于其不动点子代数是唯一遍历的？
• RQ2 相对于不动点子代数的唯一遍历性概念能否推广到约化合并自由积 C*-代数的自同构？
• RQ3 约化合并自由积 C*-代数中是否存在广义 Haagerup 不等式，以控制固定块长度元素的范数？
• RQ4 具有性质 (RD) 的群的约化群 C*-代数上的自同构是否相对于其不动点子代数是唯一遍历的？
• RQ5 遍历平均的范数收敛性是否蕴含存在唯一的 $ \alpha $-不变条件期望映射到 $ A^\alpha $？（开放问题）

主要发现

• 在约化合并自由积 C*-代数 $ A = (*_B)_{i \in \mathbb{Z}} (A_i, \phi_i) $ 上的自由移位自同构 $ \alpha $ 相对于其不动点子代数 $ B $ 是唯一遍历的，这由所有 $ a \in A $ 的遍历平均范数收敛于 $ \phi(a) $ 所证明。
• 对于任意满足 $ a_i \in A_{k(i)}^\circ $ 且 $ k(i) \neq k(i+1) $ 的字 $ w = a_1 \cdots a_p $，遍历平均满足 $ \left\| \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \alpha^k(w) \right\| \leq \frac{1}{n}(2p+1)n^{1/2} \prod_{i=1}^p \|a_i\| $，当 $ n \to \infty $ 时趋于零。
• 广义 Haagerup 不等式（命题 5.1）将块长度 $ n $ 的字的线性组合 $ f $ 的算子范数控制在 $ (2n+1) \gamma $ 以内，其中 $ \gamma = \left( \sum_{k \in \mathcal{K}} \prod_{i=1}^n \|a_{k,i}\|^2 \right)^{1/2} $。
• 广义 Haagerup 不等式的证明使用了希尔伯特空间上的忠实 $ \ast $-表示 $ \tilde{\sigma} $，并通过柯西-施瓦茨不等式控制遍历平均的范数。
• 该结果表明，$ C^*_r(\mathbb{F}_\infty) $ 上的自由移位是唯一遍历的，从而正面回答了 David Kerr 提出的问题。
• 作者提供了广义 Haagerup 不等式的直接证明，尽管它可由 Ricard 和 Xu 的工作推出，但该证明更为简洁。