[论文解读] Uniqueness and Lagrangianity for solutions with lack of integrability of the continuity equation

Laura Caravenna, Gianluca Crippa|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文在解不具局部可积性时，针对Sobolev向量场下的连续性方程分布解建立了唯一性与拉格朗日性，扩展了DiPerna-Lions框架。提出了一种类方向Lipschitz延拓引理，并通过沿流的分解构造测试函数，证明在向量场满足连续性假设下，$L^1_{\text{loc}}$ 解由唯一的正则拉格朗日流唯一地传输。

ABSTRACT

We deal with the uniqueness of distributional solutions to the continuity equation with a Sobolev vector field and with the property of being a Lagrangian solution, that means transported by a flow of the associated ordinary differential equation. We work in a framework with lack of local integrability of the solution, in which the classical DiPerna-Lions theory of uniqueness and Lagrangianity of distributional solutions does not apply due to the insufficient integrability of the commutator. We introduce a general principle to prove that a solution is Lagrangian: we rely on a disintegration along the unique flow and on a new directional Lipschitz extension lemma, used to construct a large class of test functions in the Lagrangian distributional formulation of the continuity equation.

研究动机与目标

• 填补DiPerna-Lions理论中因解缺乏足够可积性而导致对交换子控制失效的空白。
• 在Sobolev向量场下，建立连续性方程在$L^1_{\text{loc}}$中的分布解的唯一性。
• 证明此类解为拉格朗日型，即由向量场的唯一正则拉格朗日流所传输。
• 通过构造一大类测试函数，克服分布形式下流缺乏Lipschitz正则性的困难。
• 提出一种在低可积性情形下利用分解与方向延拓证明拉格朗日性的通用原则。

提出的方法

• 沿与向量场关联的唯一正则拉格朗日流对解进行分解。
• 提出一个新的方向Lipschitz延拓引理，以构造既沿流线为$L$-Lipschitz又为欧氏Lipschitz的测试函数。
• 定义一族中间距离$d_\lambda$，满足当$\lambda \downarrow 0$时收敛于退化的流距离$d_0$。
• 应用McShane延拓定理，利用$d_\lambda$距离将测试函数从紧致流管延拓至整个空间。
• 利用当$\lambda \downarrow 0$时$\mathrm{Lip}(\psi; d_\lambda) \to \mathrm{Lip}(\psi; d_0)$的收敛性，控制$d_0$下的Lipschitz常数。
• 在分布形式中使用所得的延拓测试函数，以验证拉格朗日性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当解不具局部可积性时，能否在分布解框架下建立连续性方程的唯一性与拉格朗日性？
• RQ2 当流不具Lipschitz正则性时，能否在拉格朗日形式中构造出足够丰富的测试函数类？
• RQ3 能否发展出一种方向Lipschitz延拓引理，以控制沿流线的正则性，同时保持欧氏正则性？
• RQ4 对向量场施加何种条件，可确保在低可积性情形下交换子仍可控制？
• RQ5 如何利用沿流的分解证明$L^1_{\text{loc}}$解被流唯一地传输？

主要发现

• 在给定假设下，连续性方程的柯西问题在$L^1_{\text{loc}}([0,T] \times \mathbb{R}^n)$中有唯一解。
• 唯一解为拉格朗日型，即由与向量场关联的唯一正则拉格朗日流所传输。
• 该解也满足重正则化性质，将重正则化性质推广至$L^1_{\text{loc}}$情形。
• 方向Lipschitz延拓引理确保测试函数可从流管延拓至整个空间，同时保持流线正则性与欧氏正则性。
• 当$\lambda \downarrow 0$时，$\mathrm{Lip}(\psi; d_\lambda) \to \mathrm{Lip}(\psi; d_0)$的收敛性对于控制流上的Lipschitz常数至关重要。
• 该结果在假设$\boldsymbol{b}(t,\cdot)$对$\mathcal{L}^1$-几乎处处的$t$连续，且在紧集上具有关于时间一致的模连续性下成立。